2、随机预言模型下的量子位置验证

随机预言模型下的量子位置验证

1. 预备知识

在深入探讨量子位置验证之前，我们需要了解一些基本的符号和概念：
- $\omega(x)$：表示 $x$ 的汉明重量。
- $h(p) = -p \log p -(1 -p) \log(1 -p)$：表示二进制熵。
- $|x|$：表示 $x$ 的绝对值或基数。
- $|x|$：表示 $x$ 的欧几里得范数。
- $x \stackrel{\$}{\leftarrow} M$：意味着 $x$ 是从集合 $M$ 中均匀随机选取的。
- $x \leftarrow A()$：表示 $x$ 是由算法 $A$ 选择的。

对于量子态，我们有以下表示：
- 对于 $x \in {0, 1}^n$，$|x\rangle$ 表示在计算基下编码的量子态 $x$。
- $|\Psi\rangle$ 表示任意量子态（不一定在计算基下）。
- $\langle\Psi|$ 是 $|\Psi\rangle$ 的共轭转置。
- 对于 $B \in {0, 1}^n$，$|x\rangle_B$ 表示在由 $B$ 指定的基下编码的 $x$，具体为 $|x\rangle_B = H_{B_1}|x_1\rangle \otimes \cdots \otimes H_{B_n}|x_n\rangle$，其中 $H$ 是哈达玛矩阵。
- 一个 EPR 对的状态为 $\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$。
- $TD(\rho, \rho’)$ 表示状态 $\rho$ 和 $\rho’$ 之