向量奖励与偏好关系分析

1、如果R是我们的奖励集合，我们的效用函数是U : R →R，并且当且仅当U(a) > U(b)时a ≻∗b，那么我们的偏好是可传递的。请给出一个不一定映射到R的效用函数和一个二元关系>的例子，使得传递性可能被违反，并通过一个思想实验来支持你的例子。

向量奖励与偏好关系分析

考虑向量奖励 $ R = R^2 $，其中 $ r_i = (a_i, b_i) $，且有 $ \epsilon, \epsilon’ > 0 $。

偏好关系定义

1. 若 $ b_i \geq b_j + \epsilon’ $，则 $ r_i \succ^* r_j $；
2. 若 $ a_i \geq a_j $ 且 $ |b_i - b_j| < \epsilon $，则 $ r_i \succ^* r_j $。

思想实验

例如，雇主根据以下两个因素决定雇佣两名员工 $ i $ 和 $ j $：

• 经验 $ a $
• 学校成绩 $ b $

由于成绩不太可靠，若两人成绩相近，会优先选择经验更丰富的。

候选人序列假设

假设有一系列候选人 $ i = 1, \dots, n $，满足：

• $ b_i = b_{i+1} + \delta $，其中 $ \delta < \epsilon $
• $ a_i > a_{i+1} $

显然，总是会优先选择 $ r_i $ 而非 $ r_{i+1} $。

但如果 $ \delta n > \epsilon $，就会出现优先选择 $ r_n $ 而非 $ r_1 $ 的情况，这违反了传递性。

2、考虑两个罐子，每个罐子里都有红色和蓝色的球。第一个罐子里红球和蓝球数量相等。第二个罐子里红球的比例是随机选取的X，即从第二个罐子中取出红球的概率是X。1. 假设你要选择一个罐子，然后从该罐子中随机取出一个球。如果取出的球是红色，你赢得1个货币单位（CU），否则什么也得不到。证明：如果你的效用函数随货币收益增加而增加，当且仅当E(X) < 1/2时，你应该选择第一个罐子。2. 假设你要选择一个罐子，然后仅从该罐子中随机取出n个球。每次取出红球，你获得1个货币单位。取出球后，你将球放回罐子。假设效用函数U是严格凹函数，并且E(X) = 1/2。证明你应该总是从第一个罐子中取球。

1. 对于第一个问题，从第一个罐子中取出红球的概率为 $ \frac{1}{2} $，获得 1 个货币单位的效用为 $ U(1) $，期望效用为：

$$
E_1 = \frac{1}{2} \cdot U(1)
$$

从第二个罐子中取出红球的概率为 $ X $，期望效用为：

$$
E_2 = E(X) \cdot U(1)
$$

因为效用函数随货币收益增加而增加，即 $ U(1) > 0 $，当 $ E_1 > E_2 $ 时，也就是：

$$
\frac{1}{2} \cdot U(1) > E(X) \cdot U(1)
$$

两边同时除以 $ U(1) $，可得：

$$
E(X) < \frac{1}{2}
$$

此时应选择第一个罐子。

2. 对于第二个问题，对于第二个罐子，$ E(U | x) $ 在 $ 0 \leq x \leq 1 $ 时是凹函数（可通过证明 $ \frac{d^2}{dx^2} E(U | x) < 0 $ 得出）：

$$
\frac{d^2}{dx^2} E(U | x) = n(n - 1) \sum \left[ U(k) - 2U(k + 1) + U(k + 2) \right] C(n - 2, k) x^k (1 - x)^{n - 2 - k}
$$

然后应用詹森不等式。由于效用 $ U $ 严格凹且 $ E(