代码随想录day43| 动态规划 1049. 最后一块石头的重量 II 、 494. 目标和、474.一和零

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题目：1049.最后一块石头的重量II

题目链接：https://leetcode.cn/problems/last-stone-weight-ii/

题目：494. 目标和

题目链接：https://leetcode.cn/problems/target-sum/

题目：474.一和零

题目链接：https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/

题目：1049.最后一块石头的重量II

题目链接：https://leetcode.cn/problems/last-stone-weight-ii/

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：
输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
示例 2：
输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5
提示：

1 <= stones.length <= 30
1 <= stones[i] <= 100

思路：由题意已知，可将问题转化为：将石头分为两堆，求两堆石头重量差最小值。继续转化为：用容量为sum/2的背包装石头，求装入背包中的石头的最大重量为dp[sum/2]，则得到两堆石头重量差的最小值为sum-2*dp[sum/2]。

01背包最值问题：先遍历物品，再遍历背包(背包容量为sum/2，倒序）

最值问题：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

具体代码如下：

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        vector<int> dp(15001, 0);
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];
        int target = sum / 2;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[target] - dp[target];
    }
};

题目：494. 目标和

题目链接：https://leetcode.cn/problems/target-sum/

给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：
输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3
示例 2：
输入：nums = [1], target = 1
输出：1
提示：

1 <= nums.length <= 20
0 <= nums[i] <= 1000
0 <= sum(nums[i]) <= 1000
-1000 <= target <= 1000

思路：01背包的组合问题

递推公式：

dp[j]+=dp[j-nums[i]];

遍历顺序：先物品，后背包（背包容量j=（target+sum）/2、倒序且j>=nums[i]）

还有些细节需要注意：nums是整数数组。如果target+sum是奇数，那么（target+sum）/2得到的left是向下取整后的值，是无解的。

如果：nums =[100]、target =-200，即abs(target)>nums也是无解的

具体代码如下：

    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        
        int sum = 0;
        for(int a:nums)sum+=a;
        int x=(sum+target)/2;
        if((sum+target)%2==1)return 0;
        if(abs(target)>sum)return 0;
        vector<int> dp(x+1,0);
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            for(int j=x;j>=nums[i];j--){
                dp[j]+=dp[j-nums[i]];
            }
        }
        return dp[x];
        
    }

题目：474.一和零

题目链接：https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中最多有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的子集。

示例 1：
输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。
示例 2：
输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。
提示：

1 <= strs.length <= 600
1 <= strs[i].length <= 100
strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
1 <= m, n <= 100

思路：

01背包最值问题：

递推公式一般是：dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);

怎么将本题转化为01背包问题呢？

物品重量weight[i]就相当于zeroNum(0的个数）oneNum（1的个数）

value[i]相当于字符串本身的个数

那么递推公式写成dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

遍历顺序：先遍历物品（字符串数组）得到每个字符串的zeroNum和oneNum。然后再遍历背包(背包容量m，n,倒序且m>=zeroNum,n>=zeroNum）

具体代码如下：

 int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
        for (string str : strs) { // 遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }