洛谷 P1687 机器人小Q 题解

动态规划充电

最新推荐文章于 2025-12-03 14:22:43 发布

原创最新推荐文章于 2025-12-03 14:22:43 发布 · 313 阅读

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#c++ #动态规划

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本文通过动态规划解决了一道关于充电的问题，旨在找到使用特定数量的能量值为设备充电所需的最少天数。文章详细阐述了状态转移方程的设计过程，并通过比较不同方案优化了最终的算法实现。

我看这题似乎没有将状态转移方程讲清楚的题解啊，所以我来了

入题。

看到这题，我立马想到贪心。

对题意，我的错误的理解为：对于任意一个能量菜单上的能量值都可以在任意时间充电。这样，就可以直接排序选前 $k$ 个最小值进行充电。

然后，我看到了此题的颜色：普及+/提高

这题不简单！

于是，我就看到了讨论中的：

贪心60分求助

算法疑问

是题目问题还是我的问题

哦原来是 按一定顺序 给出了 $N$ 个单位的能量值，使用也得 按一定顺序 。也就是说，用了第 $i$ 个后，第 $i$ 个之前的就不能再用了。

好了，排序不能用了，决策题只能考虑动态规划了。

于是设 $f [i] [j]$ 表示在第 $i$ 个之前使用了 $j$ 种能量值时最少用的天数。

比如说对于样例， $f [3] [2]$ 表示第三个能量值之前的三种能量值1,119,119中要选择两个能量值并充电给小Q。

考虑i和j之间关系。

若 i==j

若 $i = = j$ ，也就是说前 $i$ 个一定要全部选，那么第 $i$ 项也一定要选。那么就考虑选择第 $i$ 个：

$f [i] [j] = f [i - 1] [j - 1] + (t [i - 1] [j - 1] + n u m [i] > 119) ? 1 : 0$

看起来那么长，其实就是将一个if嵌在其中。

首先， $f [i - 1] [j - 1]$ 指前一个选择了 $j - 1$ 项的状态，到此状态是刚好选择 $j$ 项。

而后面的一个三元运算，则指是否需要重新的一天来充电——用题目的话来说就是充电量超过了119，则要用另一天来充电。~~否则小Q就要原地爆炸~~

注：t数组保存着在第i,j状态时那一天已经用了多少能量；

若 i>j

再考虑 $i > j$ 。这表示在前 $i$ 种能量值中只用选择j个，而并不用全部选完。这就又分两种情况：

（1）不选第i种能量。

（2）选第i种能量。

对于（2），在i==j时我们已经讨论过了，那么只需要Ctrl-C+V就好了。

对于（1），直接 $f [i] [j] = f [i - 1] [j]$ 就得了，没啥要考虑的。

只要对比（1）和（2）的大小就OK了。

依照上面的思路，我们可以写出这个简单的代码。

（不要着急复制粘贴AC这道题啊，因为下面的代码只有30分）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int num[3001],f[3001][3001],t[3001][3001];

int main()
{
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>num[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
		{
			if(i==j)
			{    //选取当前能量
				f[i][j]=f[i-1][j-1];
				t[i][j]=t[i-1][j-1]+num[i];
				if(t[i][j]>119)
				{
					t[i][j]=num[i];
					f[i][j]++;
				}
			}
			else
			{
				if(f[i-1][j]<f[i-1][j-1]+(t[i-1][j-1]+num[i]>119)? 1:0)
				{    //不选取当前能量
					f[i][j]=f[i-1][j];
					t[i][j]=t[i-1][j];
				}
				else
				{    //选取当前能量
					f[i][j]=f[i-1][j-1];
					t[i][j]=t[i-1][j-1]+num[i];
					if(t[i][j]>119)
					{
						t[i][j]=num[i];
						f[i][j]++;
					}
				}
			}
		}
	cout<<f[n][k]+(t[n][k]!=0)? 1:0; //此处要将最后一天算上，f[n][k]并没有将当时所用的天数包含在内，即在使用的第一天f[i][j]还是0
	return 0;
}

好，为什么30分呢？等等， $i > j$ 的情况没考虑完整！若选择和不选择的天数相同呢？

先停一下，看看 $f [i] [j]$ 的含义。它表示在第 $i$ 个之前使用了 $j$ 种能量值时最少用的天数（的向下取整）。对啊！这使当前这一天的使用的能量没有发挥作用啊！

还是举个粒子吧。

现在已经使用了这样的能量组合：

118 1 50

到第三天时，用了1天并还剩下50的能量。剩下的50能量便是主要要对比的对象了。

那么，天数相同时，最后一天所用的能量肯定越少要好啊！所以，在天数相同的情况下，就选择最后一天使用能量较少得那一种方案。

于是代码变成了这样：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int num[3001],f[3001][3001],t[3001][3001];

int main()
{
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>num[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
		{
			if(i==j)
			{
				f[i][j]=f[i-1][j-1];
				t[i][j]=t[i-1][j-1]+num[i];
				if(t[i][j]>119)
				{
					t[i][j]=num[i];
					f[i][j]++;
				}
			}
			else
			{
				if(f[i-1][j]<f[i-1][j-1]+(t[i-1][j-1]+num[i]>119)? 1:0)
				{
					f[i][j]=f[i-1][j];
					t[i][j]=t[i-1][j];
				}
				else if(f[i-1][j]==f[i-1][j-1]+(t[i-1][j-1]+num[i]>119)? 1:0)    //此处考虑相同的情况
				{
					if(t[i-1][j]<=((t[i-1][j-1]+num[i])>119? num[i]:t[i-1][j-1]+num[i]))     //这里注意三元运算的优先级
					{
						f[i][j]=f[i-1][j];
						t[i][j]=t[i-1][j];
					}
					else
					{
						f[i][j]=f[i-1][j-1];
						t[i][j]=t[i-1][j-1]+num[i];
						if(t[i][j]>119)
						{
							t[i][j]=num[i];
							f[i][j]++;
						}
					}
				}
				else
				{
					f[i][j]=f[i-1][j-1];
					t[i][j]=t[i-1][j-1]+num[i];
					if(t[i][j]>119)
					{
						t[i][j]=num[i];
						f[i][j]++;
					}
				}
			}
		}
	cout<<f[n][k]+(t[n][k]!=0)? 1:0;
	return 0;
}

完结。

等等？为什么没有“You can’t do it.”都可以的？

哈哈哈，这说明了一些~~显而易见~~的事实。

既然想到了那么就说一说怎么判断吧。如何凑出不可能充k种电的情况呢？

只有一种情况，就是没有足够的方式充电。

那么输入就可以改成这样：

int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
	cin>>num[i],cnt+=(num[i]<=119);
if(cnt<k) puts("You can't do it."); //没有足够的种类去充电

正式完结。

有不懂得问题，问我哈

有错误请指出，方便我改进自身qwq