12、目标跟踪中的滤波与自适应模型技术

目标跟踪中的滤波与自适应模型技术

1. 卡尔曼滤波器

卡尔曼滤波器将状态概率密度函数 $p(q_t)$ 建模为单个高斯函数。在每个时间 $t$，估计均值 $\mu_t$ 和协方差矩阵 $\Sigma_t$ 来定义这个高斯分布。时间 $t$ 最可能的状态为 $q_t = \mu_t$，而 $\Sigma_t$ 表征了该估计的不确定性。

高斯密度函数通过融合其参数的预测值、观测值的预测值以及实际观测值 $x_t$ 随时间传播。这个融合过程根据估计的不确定性对预测值和观测值进行加权，所使用的加权因子称为卡尔曼增益 $K_t$。用于传播高斯密度函数的更新方程如下：

若被跟踪对象的状态本质上不可预测，或预计状态保持不变，则可将其状态建模为常量，并将状态的任何变化视为随机（未建模）噪声。此时，高斯状态密度按以下方式预测：
[
\mu_t = \mu_{t - 1}
]
[
\Sigma_t = G\Sigma_{t - 1}G^T + Q
]
其中，$G$ 是一个常数矩阵，用于考虑未建模的变化。

如果通过估计一阶导数来扩展状态向量，就可以进行考虑变化率的预测。这通过将状态向量扩展为 $q = [q_1,\dot{q}_1,q_2,\dot{q}_2, \cdots, q_n,\dot{q}_n]^T$ 来实现。

1.1 卡尔曼滤波器工作流程

graph LR
    A[初始估计均值和协方差] --> B[预测状态和协方差]
    B --> C[获取实际观测值]
    C --> D[