21、快速傅里叶变换（FFT）与分层基在空间估计中的应用

快速傅里叶变换（FFT）与分层基在空间估计中的应用

1. FFT方法

FFT（快速傅里叶变换）在处理随机域和空间模型中具有重要作用。

1.1 FFT的去相关特性

对于矩阵 $\overline{\overline{Z}} = [FFT(\overline{Z}^T)]^T$，它能够实现行内元素的去相关。这意味着 $\overline{\overline{Z}}$ 中的所有元素彼此之间都是去相关的，对应的协方差矩阵被对角化。当对矩阵按列进行FFT，再按行进行FFT时，这等同于二维FFT。由此可以得出：
若 $[Z] \sim P_{Toroidal}$，则 $[FFT2(Z)] \sim Diagonal$。
进一步推广到 $d$ 维情况，如果 $Z$ 是一个 $n_1 \times \cdots \times n_d$ 维的随机域，那么有：
$Z$ 为 $d$ 维、平稳且周期性的 $\Rightarrow [FFTd(Z)] \sim Diagonal$。

1.2 FFT与空间模型

协方差矩阵 $P$ 在表示大型多维随机域时效率较低，特别是对于平稳且周期性的场。整个协方差矩阵 $P = [p_0 \ p_1 \ \cdots]$ 可以仅由第一列 $p_0$ 重建，即 $[P] = p_0$。

在变换域中，协方差 $\overline{P}$ 可表示为：
$\overline{P} = Diag(\overline{p}_0) = Diag(F_d p_0) = Diag([FFTd(P)])$
求逆协方差 $P^{-1}$ 时，有：
$\overline