21、约束推理：一致性、多项式情况与回溯优化

约束推理：一致性、多项式情况与回溯优化

1. 约束网络中的一致性概念

在约束网络中，检测不一致性是解决约束满足问题（CSP）的关键。弧一致性是一种常见的检测方法，但并非唯一。自 20 世纪 70 年代以来，陆续提出了多种更强的一致性概念。

• k - 一致性 ：Freuder 在 1978 年提出了 k - 一致性的概念。对于一个网络 $N = (X, D, C)$ 和一个包含 $k - 1$ 个变量的集合 $Y \subseteq X$，如果对于任意第 $k$ 个变量 $x_{ik} \in X \setminus Y$，都存在一个值 $v_{ik} \in D(x_{ik})$，使得 $I \cup {(x_{ik}, v_{ik})}$ 是局部一致的，那么局部一致的实例化 $I$ 就是 k - 一致的。如果对于任意 $k - 1$ 个变量的集合 $Y$，其所有局部一致的实例化都是 k - 一致的，那么网络 $N$ 就是 k - 一致的。
• 路径一致性 ：在 Freuder 提出 k - 一致性之前，Montanari 在 1974 年提出了路径一致性。路径一致性是针对二元约束网络定义的，其中每对变量最多参与一个约束。在这样的网络中，路径一致性等价于 3 - 一致性。例如，对于网络 $N$，其变量为 $x_1, x_2, x_3$，定义域 $D(x_1) = D(x_2) = D(x_3) = {1, 2}$，约束 $C = {x_1 \neq x_2, x_2 \neq x_3}$，该网络不是路径/3 - 一致的，因为 $((x_1, 1), (x_3, 2))$ 和 $((x_1, 2), (