搜集卡片 状态压缩+数学期望

NKOJ 2127 搜集卡片

问题描述

童年时代，你是否热衷于搜集零食里的卡片呢？比如你集齐了108张水浒英雄的卡片，你会感到非常有成就感，而且还可以去兑换奖品。

作为一个聪明的小孩，你注意到如果你要赢得奖品，你必须买很多很多的零食才能搜集齐卡片。要赢得奖品，你估计要买多少袋零食才能成功？

输入格式

第一行，一个整数N(1 <= N <= 20), 表示总共有N种不同的卡片。
第二行，N个空格间隔的实数p1, p2, …, pN, (p1 + p2 + … + pN <= 1), 表示零食袋中每种卡片出现的概率。
注意：一包零食中最多有一张卡片，也可能一张都没有。

输出格式

一个实数，表示你计算的结果，保留6位小数

样例输入

2
0.1 0.4

样例输出

10.500000

---

数学期望水题，权当是复习。

显然应该用递推的方式解决此问题，为了递推我们需要记录状态，这道题记录状态显然用状态压缩。

设$f[x]$表示在$x$的二进制表示的状态下，要全部搜集完需要买零食的期望值。那么有初值$f[(1<<N)-1]=0$

接下来考虑递推式：

$f[x]=p_{没有卡片}f[x]+p_{得到已有的卡片}f[x]+\sum_{当前状态没有i号卡片} p_if[x|(1<<i-1)]+1$

由于有$1-p_{没有卡片}-p_{得到已有的卡片}=p_{得到没有的卡片}$，移项后整理得：
$f[x]=(\sum_{当前状态没有i号卡片} p_if[x|(1<<i-1)]+1)\div p_{得到没有的卡片}$

代码：

#include<stdio.h>

int N,En;
double f[1048576+233],p[25];

int main()
{
    int i,j;
    double P,sum;

    scanf("%d",&N);
    for(i=1;i<=N;i++)scanf("%lf",&p[i]);

    En=(1<<N)-1;
    for(i=En-1;i>=0;i--)
    {
        sum=P=0;
        for(j=1;j<=N;j++)if(!(i&(1<<j-1)))sum+=p[j]*f[i|(1<<j-1)],P+=p[j];
        f[i]=(sum+1)/P;
    }

    printf("%.6lf",f[0]);
}