计蒜客NOIP模拟赛 数三角形

数三角形

题目描述

刚刚上高中的洁洁在学习组合数学的过程中遇到一道麻烦的题目，她希望你能帮助她解决。给定一张无向完全图 G，其中大部分边被染成蓝色，但也有一些边被染成红色或者绿色。现在，洁洁需要给这张图的多样性进行打分。一张图的多样性取决于它的同色和异色三角形的个数。具体来说，G中每有一个三边颜色都互不同的三角形（异色三角形）可以得 3分，每有一个三边颜色都相同的三角形（同色三角形）则要被扣掉 6分，其它三角形不得分也不扣分。

现在，请你写一个程序来计算 G 的多样性分数。

输入格式

第一行两个正整数 n 和 m，其中 n 表示 G 中顶点的个数，m 表示 G 中红色或者绿色的边的条数。

接下来 m 行每行包括三个整数 a,b,c，代表连接顶点 a和顶点 b 的边颜色为红色 (c=1)或者绿色 (c=2)。

输出格式

一行，G 的多样性得分。

数据范围与约定

对于 20% 的数据，$n \le 500,m \le \frac{n(n-1)}{2}n≤500,m≤ ​2​n(n−1)$
对于 40% 的数据，$n \le 2000,m \le \frac{n(n-1)}{2}n≤2000,m≤ ​2n(n−1)$
对于100% 的数据，$n \le 100000, m \le min(\frac{n(n-1)}{2},200000),n≤100000,m≤min(​2n(n−1)​​ ,200000)。$

样例解释 1

(1, 2, 3)(1,2,3) 能组成一个同色三角形，找不到异色三角形，得分为 -6。

样例解释 2

(1, 2, 3)(1,2,3) 能组成一个同色三角形，(1,2,4),(1,3,4)(1,2,4),(1,3,4) 能组成两个异色三角形，得分为 2*3-6=0。

样例输入1

4 3
1 2 1
1 3 1
2 3 1

样例输出1

-6

样例输入2

4 4
1 2 1
1 3 1
2 3 1
1 4 2

样例输出2

0

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题目太具有迷惑性了。考试时给的时限是2s，但是实际上算法是O(N)级别的。而且很容易想到组合数之类的东西。

这道题其实是构造出来的，不具有一般性。

如果对组合数学中的染色问题有所了解，那么应该从异色角的方面考虑。设异色角的个数为Same，同色角的个数为Dif。并将完全图中的三角形分成三类：

A.三条边异色的三角形
B.三条边中两条边颜色相同的三角形
C.三条边颜色相同的三角形

那么显然有以下关系式：

$Same=B+3C$ …………①
$Dif=3A+2B$ …………②

注意到答案实际上等于$3A-6C$，也就是$②-2①$。那么只要求出同色角和异色角的个数就可以了。这是很容易实现的。

由此也可以看出，如果加分扣分之比不是$1:2$的话，就无法用这个方法做出来了。

#include<stdio.h>
#define ll long long
#define MAXN 100005

ll Cnt[MAXN][3],Ans,Same,Dif;
int N,M;

int main()
{
    int i,j,x,y,z;

    scanf("%d%d",&N,&M);

    for(i=1;i<=M;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        Cnt[x][z]++;Cnt[y][z]++;
    }

    for(i=1;i<=N;i++)
    {
        Cnt[i][0]=N-1-Cnt[i][1]-Cnt[i][2];
        for(j=0;j<3;j++)Same+=Cnt[i][j]*(Cnt[i][j]-1)/2;
        Dif+=Cnt[i][0]*Cnt[i][1]+Cnt[i][1]*Cnt[i][2]+Cnt[i][0]*Cnt[i][2];
    }

    Ans=Dif-2*Same;
    printf("%lld",Ans);
}