图的基本概念与表示方法-优快云博客

本文介绍了图的基本概念，包括图的定义、分类及其组成部分。同时详细探讨了图的两种主要表示方法：邻接表和邻接矩阵，并通过示例代码展示了如何实现这两种表示方法。

图的分类

图表示一种多对多的关系。

图的概念

图由顶点和边组成。可以无边，但至少有一个顶点。

一组顶点，通常有V(vetex)表示顶点的集合
一组边，通常用E(edge)表示边的集合

图可以分为有向图和无向图

(v,w)表示无向边，即v和w是互通的
<v,w)表示有向边，边始于v, 终于w

图可以分为有权图和无权图

有权图：每条边都有权重值，通常是一个数字
无权图：每条边都没有权重，通常可以理解为权重为1

图又可以分为连通图和非连通图

连通图：所有的顶点都有路径相连
非连通图：存在某两个顶点没有路径相连

图中的顶点有度的概念

度：所有和它连接点的个数之和
出度：存在于有向图中，所有接入该点的边数之和
入度：存在于有向图中，所有从接出该点的边数之和

图的表示方法

要表示一个图G=（V，E）（注：V：vertex、E：edge），有两种方法，即邻接表和邻接矩阵。这两种方法既可以用于有向图，也可以用于无向图。

// 图1，无向图
1 ----- 2
|       |  \
|       |  / 3
5 ----- 4

邻接表

邻接表表示法通常表示稀疏图（图中 |E| 远小于 |V|^2）比较紧凑。

// 邻接表数据结构表示无向图

// 定义图中最多100个节顶点
#define MAX 100

// 邻接表中的顶点定义
typedef struct Vertex
{
        int v; 
        struct Vertex *next;
        
} Vertex;

// 邻接表
Vertex Adj[MAX];

// 创建顶点
Vertex* makeVertex(int v)
{
        Vertex *pVertex = (Vertex*) malloc(sizeof(Vertex));
        pVertex->v = v; 
        pVertex->next = NULL;
        return pVertex;
}
// 删除顶点
void destroyVertex(Vertex *pVertex)
{
        free(pVertex);
}

// 完整代码
#include <stdio.h>
#include <malloc.h>

#define MAX 100

typedef struct Vertex
{
        int v; 
        struct Vertex *next;
        
} Vertex;

Vertex Adj[MAX];

Vertex* makeVertex(int v)
{
        Vertex *pVertex = (Vertex*) malloc(sizeof(Vertex));
        pVertex->v = v;
        pVertex->next = NULL;
        return pVertex;
}
void destroyVertex(Vertex *pVertex)
{
        free(pVertex);
}

// 初始化图
void initGraph()
{
        printf("input edges:\nlike 1,2\n-1,-1\n");
        int v1 = 0, v2 = 0;
        while (1){
                scanf("%d,%d", &v1, &v2);
                
				// 输入-1,-1表示输入结束
                if (v1 == -1 && v2 == -1)
                        break;

                Adj[v1].v = v1;
                Vertex *pVertex = &Adj[v1];
                while ( pVertex->next ) {
                        pVertex = pVertex->next;
                }
                pVertex->next = makeVertex(v2);
        }
}

// 打印当前图
void printGraph(int n)
{
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
                printf("%d", Adj[i].v);
                Vertex *pVertex = Adj[i].next;
                while (pVertex) {
                        printf("--%d", pVertex->v);
                        pVertex = pVertex->next;
                } 
                printf("\n");
        }
}
// 销毁图中的节点
void uninitGraph(int n) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
                Vertex *pVertex = Adj[i].next;
                Adj[i].next = NULL;
                while (pVertex) {
                        Vertex *pTemp = pVertex->next;
                        destroyVertex(pVertex);
                        pVertex = pTemp;
                }
                printf("destroy vertex[%d]\n", i);
        }
}

int main()
{
        int n = 0;
        printf("input vertex's number\n");
        scanf("%d", &n);

        initGraph();
        printGraph(n);
        uninitGraph(n);
        printGraph(n);
        return 0;
}

// 执行方式
input vertex's number
5
1,2
1,5
...
-1,-1 // 结束输入

邻接表的长度

若G是一个有向图，则所有邻接表的长度之和为 |E|。
若G是一个无向图，则所有邻接表的长度之和为 2|E|。
无论有向图还是无向图，邻接表需要的存储空间为O(V+E)。

加权图

图的每条边有着相应权值。
设G=（V，E）是一个加权函数为w的加权图。对每一条边（u，v）且（u，v）属于E，权值为w（u，v）和顶点v一起存储在u的邻接表中。

typedef struct Vertex
{
        int v; // 顶点
	    int w; // 加权值
        struct Vertex *next;
        
} Vertex;

邻接矩阵

邻接矩阵表示法通常用于表示稠密图（图中|E| 接近于 |V|^2）或必须很快判别两个顶点是否存在连接边时使用。

// 邻接矩阵表示无向图

#define MAX 100

int  G[MAX][MAX] = {0};

// 完整代码

#include <stdio.h>

#define MAX 100

int  G[MAX][MAX] = {0};

// 初始化图
void initGraph()
{
        printf("input edges:\nlike 1,2\n");
        int v1 = 0, v2 = 0;
        while (1){
                scanf("%d,%d", &v1, &v2);

                if (v1 == -1 && v2 == -1)
                        break;

                G[v1][v2] = 1;
                G[v2][v1] = 1;
        }

}

// 打印图
void printGraph(int n)
{
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
                printf("%d", i);
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
                        if (G[i][j] == 1) {
                                printf("--%d", j);
                        }
                }
                printf("\n");
        }
}

int main()
{
        int n = 0;
        printf("input vertex's number\n");
        scanf("%d", &n);

        initGraph();
        printGraph(n);

        return 0;
 }