1_向量_《3D图形编程基础——基于DirectX11》笔记

一、向量

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目标：

1. 向量的定义和表示方式。
2. 向量的标准化。
3. 向量的运算，包括加减、数乘、点乘、叉乘
4. 坐标系和齐次坐标系
5. XNA库中向量的表示和操作方法

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1.1 向量的概念

​ 只有大小的量叫做标量（Scalar）；既有大小又有方向的量叫做向量（Vector）；

​ 由定义可知：向量与位置无关，即处于不同位置的两个向量，只要大小和方向相同，我们就是说他们相等。

1.1.1 向量的表示

​ 向量最初被应用于物理学，数学中的向量是从复数中引入的。在数学中，向量有以下三种表示形式：

​ a. 几何表示：规定了起点和终点的有向线段。

​ b. 坐标表示：在坐标系中平移向量，使向量的起点与原点重合，此时向量终点的坐标用于表示改向量。

​ 在坐标表示形式中，向量和点的表示形式没有差别，都是形如$a=(x,y)$或$b=(x,y,z)$的形式，因此需要根据上下文理解。

​ 而齐次坐标的表示就是为了解决这样的歧义，该表示方式通过增加一个维度来标识点或向量。

​ c. 线性组合表示：$a=a_x \times i+ a_y \times j + a_z \times k$ 其中$i,j,k$ 表示单位向量，这种表示方法与坐标表示是对应的。

1.1.2 左手坐标系与右手坐标系

​ 三维空间有多种表示方法，最常用的方法是笛卡尔坐标系。三维笛卡尔坐标系基于三条相互垂直的坐标轴：x轴、y轴、z轴。每条坐标轴都有原点、正方向、单位长度三要素。根据三条坐标轴之间的相对位置，有两种三维笛卡尔坐标系：左手坐标系（LHS）和右手坐标系（RHS）。

​ 左手坐标系：当左手拇指指向z轴，其余四指指向x轴、并能够扫向y轴时，该坐标系称为左手坐标系。

1.2 向量的长度及标准化

1.2.1 向量的长度

​ 在几何中，向量的长度（大小）叫做向量的模，也叫做向量的范数。对于向量$u=(x,y,z)$,其模可以记作$||u||$:

$$||u|| = \sqrt{(x^2+y^2+z^2)}$$

1.2.2 向量的标准化

​ 长度为1的向量叫做单位向量，向量的标准化就是对向量进行缩放，使其变为单位向量。通常在不关心向量长度而只关注向量方向的情况下进行标准化操作。对于给定向量 n=(x,y,z