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你也许会想这么证明：假设有一个数能产生这个分割，那么这个数本身可以归为 $A_1$ 这部分的最大数或 $A_2$ 这部分的最小数。假设 $a$ 是 $A_1$ 内最大的有理数，那么 $a$ 必然是正有理数，只要选定足够大的正整数 $n$ 就可以让 $a+\dfrac {1} {n}$ 变得比 $a$ 稍大一点点，那么我们很自然就会想：是不是存在正整数 $n$ 使得 $\left(a +\dfrac {1} {n}\right) ^{2} < 2$ 呢？若存在，那么我们便说明了 $A_1$ 内有比 $a$ 更大的有理数 $+\dfrac {1} {n}$ ，从而说明 $A_1$ 内无最大的有理数。因为 $\left(a +\dfrac {1} {n}\right) ^{2}=a^{2}+\dfrac {2a} {n}+\dfrac {1} {n^{2}}<a^{2}+\dfrac {2a} {n}+\dfrac {1} {n} =a^{2}+\dfrac {1} {n}(2a+1)$ ，如果能证明存在正整数 $n$ 使得 $a^{2}+\dfrac {1} {n}(2a+1)<2$ ，那么 $\left(a +\dfrac {1} {n}\right) ^{2} < 2$ 自然得证。对 $a^{2}+\dfrac {1} {n}(2a+1)<2$ 稍作变形可得 $\dfrac {1} {n}<\dfrac {2-a^{2}}{2a+1}$ ，现在问题变成了是否存在正整数 $n$ 使得 $\dfrac {1} {n}<\dfrac {2-a^{2}}{2a+1}$ ，因为 $a$ 是正有理数且 $a^{2}<2$ ，所以 $\dfrac {2-a^{2}}{2a+1}$ 是正有理数，由有理数的阿基米德性质：“对于任何正有理数，总存在正整数 $n$ 使得 $\dfrac {1} {n}$ 小于它”知存在这样的正整数 $n$ ，也就存在正整数 $n$ 使得 $\left(a +\dfrac {1} {n}\right) ^{2} < 2$ ，所以 $A_1$ 内无最大的有理数。用类似的方法也可以证明 $A_2$ 内无最小的有理数。所以，有理数集不具备连续性。

The sequence $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots$ converges if and only if for every positive $\epsilon$ there exists an $N$ such that $\left|x_{n}-x_{m}\right| \leq \epsilon$ for all $n$ and $m$ exceeding $N$ .
In other words, a sequence converges if any two of its elements with sufficiently large indices differ by less than $\epsilon$ from each other.

对于数轴上的任意一点 $x$ 至少有一个整数 $c_0$ 使得 $c_{0} \leq x \leq c_{0}+1 ,$ 换句话说 $x$ 属于闭区间 $I_{0}=\left[c_{0}, c_{0}+1\right]$ ，再将 $I_{0}$ 十等分，则其间新产生的9个分点分别是 $c_{0}+\frac{1}{10}, c_{0}+\frac{2}{10}, \ldots, c_{0}+\frac{9}{10}$ ， $x$ 至少会在这新产生的其中一个小区间上。换句话说，
$x\in I_{1}= [c_{0}+\frac{1}{10} c_{1}, c_{0}+\frac{1}{10} c_{1}+\frac{1}{10}]$ 其中 $c_{1}\in \left\{0,1 , 2, \ldots, 9\right\}$ 。如果 $x$ 碰巧是上述9个分点之一的话，那么它可以属于以其为左端点的小区间，也可以属于以其为右端点的小区间，每逢这种情况，为了避免随之而来的不必要的复杂性，我们一律限定 $x$ 属于以其为左端点的小区间。
接着再将 $I_{1}$ 十等分，同样有
$x\in I_{2}= [c_{0}+\frac{1}{10} c_{1}+\frac{1}{100} c_{2}, c_{0}+\frac{1}{10} c_{1}+\frac{1}{100} c_{2}+\frac{1}{100}]$ 。很显然，重复上述步骤到第 $n$ 次时有
$x\in I_{n}=[ c_{0}+\frac{1}{10} c_{1}+\cdots+\frac{1}{10^{n}} c_{n}, c_{0}+\frac{1}{10} c_{1}+\cdots+\frac{1}{10^{n}} c_{n}+\frac{1}{10^{n}}]$ ， $c_{1}, c_{2}, \ldots$ 均是 $\ldots, 9$ 中的其中一个数，闭区间 $I_{n}$ 的长度是 $\frac{1}{10^{n}}$ 。如此无止境地构造下去便会得到无限多个区间
$I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}, \cdots$
后一个都包含在前一个内，各自的长度 $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, \ldots$ 也在越来越靠近0。对于这无限多个 $I_{n}$ 有两点需要说明的：（1） $x$ 在每个 $I_{n}$ 上，毕竟这是我们构造各个 $I_{n}$ 的要求；（2）除 $x$ 外没有其它的数始终包含在这无限多个 $I_{n}$ 上。为了证明这一点，我们可以用反证法：假设除了 $x$ 外还有另外一个数 $y$ 在这无限多个 $I_{n}$ 上，不妨设 $y > x$ ，就有 $y-x<\frac{1}{10^{n}}$ 对于一切正整数 $n$ 成立，这个不等式可以变换为 ${10^{n}}(y-x)<1$ ，这与阿基米德性质是相悖的。用同样的方法可以证明 $y < x$ 时也有同样的结论。
所以无论是有理数还是无理数都有一系列的 $I_{n}$ 与之唯一对应，值得留意的是这一系列的 $I_{n}$ 的左右端点都是有理数，所以和无理数相关的加减乘除运算及其法则都可以据此在有理数的基础上推广过来。要知道为实数系建立严谨逻辑基础的核心问题是如何定义无理数及建立起与无理数相关的性质，所以到此我们就找到解决问题的突破口了，下面详述。为了叙述上的方便，可称上述这一系列 $I_{n}$ 为有理数区间套（nested sequence of rational intervals¹），记为 $\left\{I_{n}\right\}$ 。如果把 $x$ 和它的有理数区间套的对应关系记为 $\sim\left\{\left[a_{n}, b_{n}\right]\right\}$ ，同样地记 $\sim\left\{\left[\alpha_{n}, \beta_{n}\right]\right\}$ ，那么区间套 $\left\{\left[a_{n}+\alpha_{n}, b_{n}+\beta_{n}\right]\right\}$ 显然与实数 $x + y$ 相对应， $\left\{\left[a_{n}-\alpha_{n}, b_{n}-\beta_{n}\right]\right\}$ 与实数 $x - y$ 相对应，因为上面我们已经用几何的方式定义了任意两个实数 $x$ 和 $y$ 的加减法，所以这里我们不能说这两个构造出来的区间套定义了 $x$ 和 $y$ 的加减法，但是我们可以通过对应的区间套来感知加减法的结果在数量上的大小。我们还没有定义 $x$ 和 $y$ 的乘除法，所以可用与上述类似的方法构造并定义出 $x\cdot y$ 和 $\frac{x}{y}$ 。如我们所知道的：对于两个有理数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，如果 $a < b$ ， $c < 0$ ，那么 $a c > b c$ ，正是因为此等原因，对于 $x$ 和 $y$ 的乘法的定义，我们需要就 $y$ 的正负在形式上分开定义 $x\cdot y$ ，但本质思想是不变的。当 $y > 0$ ， $\left\{\left[a_{n} \alpha_{n}, b_{n} \beta_{n}\right]\right\}$ 就可以被视为 $x\cdot y$ 的结果。 $y < 0$ 或 $y = 0$ 时用来定义 $x\cdot y$ 的区间套也不难得出，此处不再敖述。应用类似的方法，我们可以接着定义 $\frac{x}{y}$ 的结果。不难发现这种定义方式是基于有理数的乘除法的，上述提到的Cantor和Dedekind的定义方法也是如此，这里想要说明的是：因为无理数的加减乘除法是我们早已有的东西，是本文的基础之一，所以这里定义出来的乘除法更应该看成是当 $x$ 和 $y$ 至少有一个是无理数时的乘除法定义，虽然当 $x$ 和 $y$ 都是有理数时其乘除法的结果也可以通过上述方法定义，但这种看法没有什么意义。在有了实数的加减乘除法定义后，我们可以进一步证明有理数的一些运算性质在实数（尤其是无理数参与时）内也仍然成立，此处以“有理数的乘法交换律在实数范围内仍然成立”为代表进行说明。对于实数 $x, y$ ，实数乘法交换律可以表述为 $\cdot y=y \cdot x$ ，该性质在有理数内是成立的，为了证明它在实数范围内也成立，我们的方法是证明代表等式左边的有理数区间套和右边的区间套是等同的。在此以 $y > 0$ 为例进行说明（ $y < 0$ 和 $y = 0$ 的情况也可以用类似于如下的方法说明），代表等式左边结果的区间套是 $\left\{\left[a_{n} \alpha_{n}, b_{n} \beta_{n}\right]\right\}$ ，代表等式右边结果的区间套是 $\left\{\left[\alpha_{n}a_{n}, \beta_{n}b_{n}\right]\right\}$ ，因为 $a_{n}$ 和 $\alpha_{n}$ 都是有理数，根据有理数乘法交换律有 $a_{n} \alpha_{n}=\alpha_{n}a_{n}$ 和 $b_{n} \beta_{n}=\beta_{n}b_{n}$ ，所以左右两边的区间套是等同的，对应的也就都是同一个数，故此我们就把有理数的乘法交换律推广到了实数范围内，有用类似的方法还可以说明有理数的乘法分配律在实数范围内仍然成立。