匹配问题——匈牙利算法

先给出一些图论的定义

（这部分其实也可以不看，第二个大标题开始讲正文）

匹配

给出图G = (V,E)，我们取E的一个子集M，其中M中任意两条边没有公共顶点，我们则称M中的边为匹配边，同时将M中的点叫做匹配点。
（剩下的叫未匹配边、未匹配点）

极大匹配

在一个匹配的基础上，我们可以扩大匹配（这个就是匈牙利算法的精髓，一会讲），当扩大到最大，我们就说这是一个极大匹配。

最大匹配

在极大匹配中，有的匹配边数会比其他的多一点，所以我们把最大的叫做最大匹配。

完美匹配

这个就更牛皮了，M连接的所有顶点刚好为V。

二分图

一个图能被划分成两部分，使得任意一条边的两个顶点分别在两个部分中。

交错路径和增广路径
交错路径顾名思义，就是相邻两条边性质不同。
这里我们取非匹配边-匹配边-非匹配边……的路径为交错路径；

增广路径则是从一个非匹配点出发，走交错路径到另一个非匹配点（保证了两边的边为非匹配边）

推论

1. 增广路径的边数一定为奇数，且两边的边属于非匹配边

2. 对于一个增广路径，我们可以将M取反（匹配边改为非匹配边），得到一个更大的M’，也就是匹配的扩大。（图中红色边为匹配边）
   

3. M为G的最大匹配等价于不存在M的增广路径