树的搜索问题2——分支界限和A*算法（多阶段图问题、人员安排问题和旅行商问题）

前言

在上一篇博客中我们简单提了一下深度优先和广度优先，然后就开始了爬山法和best-first算法。

尽管貌似我们已经说了很多了，但是我们上一篇博客都是在围绕一个问题——所有的问题都是有一个确定的解，我们是在找解出问题的路径。

但如果是一个优化解问题呢？比如在一个多阶段图中寻找从起点到终点的最短路径？
这些算法其实是不能使用的，但这一类问题却很多，我们需要给出新的算法。
（之前的算法也不是没有用，和深度优先广度优先差不多，也都是在给我们即将到来的算法做铺垫）

分支界限法

分支界限法又叫剪枝法
顾名思义，其实就是通过一种方式快速的找到一个较优化解（一般来说是爬山法），然后利用得到的界限来将一些不可能的解删除掉，减少我们的搜索时间（当前的搜索方式为best-first）

问题1，之前提到的多阶段图，这里我们需要计算从v0到v3的最短路径

在这里插入图片描述
而它的树结构长这样：

首先我们使用爬山法，先得到了一个长度为5的路径(0->11->23->3)，然后将其作为我们剪枝的判准。
然后我们可以使用best-first算法来寻找最优解了，不过只要当前路径大于5，那么就直接舍弃掉，一定不可能为结果。

问题2，人员安排问题

我们有一个人的集合，和一个任务的集合，同时对应人和任务还有一个代价矩阵C。
要求：

其中人的集合需要从头往后安排，也就是一定要先安排第一个人；
任务是存在拓扑排序的；
C[i][j]为第i个人分配第j个任务的代价。

我们需要寻找一个最小的代价。

拓扑排序

先把这个说了，比如我们学习过程中的高数、C语言、数据结构、算法和大物这些吧，
不学高数就不能学大物（因为有微积分），不学C就不能上数据结构，不学数据结构和C就不能学算法。
画一张图：
在这里插入图片描述
其中高数和C语言谁先上都无所谓，你大一上学期开三门数学课我都不管。
（不会吧不会吧，不会真的有学校大一上三门数学课吧）

这里举例子我们就给出四个活动吧：在这里插入图片描述

按照拓扑排序，我们得到了这样的一个活动安排顺序：（0代表根节点，没别的意思）
在这里插入图片描述
再加上我们给出的人员安排顺序，很明显第i行就是第i个人的任务（根节点算第零行）。

问题解决

既然我们已经得到了上述的树结构，再加上输入的矩阵，我们就可以为每一个点找到一个对应的代价。
（这里的代价应当是安排到当前的总代价）

当然可以直接使用分支界限法，但是我们还要讲一个优化办法：
我们假设矩阵是这样的：在这里插入图片描述

那么将其中一行都减去一部分会怎么样？
不失一般性，我们假设第一行吧，也就是任务1，当我们减去a（a小于等于12，保证减完不会出现负的），因为只能有一个人选择任务1，所以整体的代价算下来，也就相当于少了a。
然后我们在最后算代价的时候，将a加上就可以了。

同理对每一列我们减去一部分也是可以的。

优化解决办法：

将矩阵的每一行每一列都分别减去一个相同的数据，保证每行每列都有0
将减去的数据求和，放在树的根节点上作为代价下界。
然后正常使用分支界限法即可

为什么啊？为了帮助我们剪枝
因为有了初始的代价，我们缩小了分支之间的差距，但是加高了起点。
在这里插入图片描述
（仔细看其实这里有一点问题，我们使用爬山法得到的结果应该是73，而不是70，70是我们的最优解，但是不影响我们阐述思路）

问题3，旅行商问题

这里我们的旅行商问题还是经过了一定的简化，因为我们采取有向完全图。

输入一个连通图G=(V,E)，每一个顶点没有到自身的边，且每一对顶点都有一条非负的加权边。
需要返回从一个结点开始，遍历每一个结点然后返回的路径，保证该路径的代价最小。
这和哈密顿环还是有一定的区别，因为我们并没有那么严格，
首先可以经过一个顶点两次（当然这是没必要的）；
另外我们没说边是否重复（当然也没必要，都有向完全图了）

杠这部分没什么意义，我们直接来看吧。

实现

首先是如何构建二叉树，也就是我们怎么选择左子树和右子树的问题。
这里我们的左子树为含有边(i,j)的图，而右子树是不含有这条边的图。
这个不含有比较有趣，这里我们采取选择一条从i出发的边和一条到达j的边，当然这是不完全的，但是我们最后都是要将右子树剪掉的，所以就都行了。

然后是优化部分，这里我们采用两个主要的优化：

首先是和人员安排问题相似，将矩阵的每一行每一列分别剪掉常数，得到0。

（使用矩阵存储边的关系）
这里我们是可以证明该问题和上述问题相同，都是可以这样做的，毕竟一个顶点只能到剩下顶点的一个。

在保证每行每列都有0之后，我们就有很多个0可以选择，这时我们需要选择让左子树和右子树差距最大的 i 和 j ，加速剪枝

左子树都是0，所以这句话其实就是针对右子树的，也就是选一个i&j让从i出的最小边和进入j的最小边的和最大。
（是不是很绕？看一下例子就懂了）

举例

先给出矩阵
在这里插入图片描述
在经过消减3后，是这样的：（我们一共剪掉了96的代价，放在根节点上）

这里我们取的边是(4,6)，因为这时从4出发、进入6的边的和最大，为32。
从4出发的应该从第4行找，最小32；
进入6的从第六列找，最小为0。
记得别找(4,6)就行……

这样我们就暂且得到了一棵树。
在这里插入图片描述
那么在左子树和右子树应该如何填值呢?

左子树：
我们取的边代价为0，所以应仍为96。
但这是我们需要修改矩阵，因为是有向完全图，所以我们不再需要从4出发，到达6的所有边了，并且(6,4)也没有用了。
（想一下么，有向完全图任意两个顶点都能相连，我们形成环的时候每一个顶点一个出度一个入度）

所以现在的矩阵是这样的：
在这里插入图片描述
我们还需要将剩下的每一行每一列消出0，所以第五行减3，最终左子树的代价应该写96+3 = 99

右子树：
因为右子树是不包含(4,6)的，所以只需要将这项置为无穷即可。
此时我们也是需要将矩阵的每一行每一列消出0，所以还需要加32
（其实这个32就是我们选择边的时候计算的32，两个定义其实本质相同）
所以我们在右子树填96+32 = 128

重复上述过程，我们得到了这样的一棵树：
在这里插入图片描述
这样就完了吗？
不，因为这只是在爬山，我们接下来还需要进行bf呢。
在bf的过程中，因为可能有的分支是有的边要，有的边不要，所以我们要注意不要连成环。
这东西也挺麻烦的，在这里就不展示了。

A*算法

之前的分支界限法本质上其实就是在bf的过程中通过和已知的界限比较，及时规避不必要的分支；
而我们的A*算法则是在告诉你，在一定情况下，我们得到的一定是优化解，不需要再进行比较了。

我们是不是可以这样说：

分支界限法其实就相当于dp，采用的是不断尝试
A*算法则是贪心，在特定情况下直接判定为优化解

而A*算法也是离不开best-first的。

代价函数

在一棵树中，我们先给出如下的定义，其中n为树中任意一个结点

g(n)为从树根到n结点的路径长
h*(n)为n到目标节点的优化路径代价
f*(n) = g(n)+h*(n)，为通过n的优化代价

但是很明显，我们没有h*(n)的值，因而得不到f*(n)的值。

所以我们给出一个估计的函数h(n)，保证h(n) <= h*(n)；
再给出f(n) = g(n)+h(n) <= f*(n)

举个例子

还是多阶段图的例子，我们要找到从S到T的最短路径。
在这里插入图片描述
先给出g函数：
g(V1) = 2
g(V2) = 3
g(V3) = 4

这里我们定义的h函数为从顶点n出发的最小边，很明显这样的定义是符合我们的不等式的。
所以有:
h(V1) = 2，f(V1) = 4

因为是使用bf算法，所以我们需要构建堆，对f函数值进行比较，最终得到结果。

将这个过程延续下取，最终我们得到了这样的一张图：（其中黑字为边的代价，蓝字为f函数值）
在这里插入图片描述
但是还没有完，我们只是在整个堆中看到了T结点，而bf停止的标志是堆的根节点为目标节点。
直到这样，我们才说找到了最优解。（虽然还是7）

证明

因为使用了贪心策略，之前几个是因为比较直观，所以没有给出证明。

我们需要证明的是，当n为目标结点时，我们得到的f函数值一定为优化解，也就是f(n) = f*(n)
因为当n为目标节点，h(n) = 0，所以我们说也就相当于证明f*(n) = g(n)
假设当前到达的结点为x，这个x是任意的。

因为我们采用的是bf策略，所以n的f函数值一定要比x小，即f(n) <= f(x) <= f*(x)。
对于任意的x总有一个f*(x0)为优化解，那么f(n) <= f*(x0)，即g(n) =<= f*(x0)
我们得到的g(n)也是到达了最终节点n的，那么就说明这个也是一个可行解，所以我们说有g(t) =>f*(x0)
所以最终我们得到g(t) = f*(x0)，其实我们的优化解f*(x0)就是我们要的f*(n)

然后贴一下反证法的思路：

也可用反证法解定理1：使用Best-First策略搜索树，如果A如选择的节点是目标节点，则该节点表示的解是优化解。
证明（反证法）：
(1)假设A算法首先找到的路径P（n1,n2,…,TP）来到目标节点，而路径P并非真正的最小代价路径。
(2)若真正的最小代价路径A（n1,n2,…,ni,…,TA）,那么A中必有节点ni不在路径P中，假设ni是离起点最远的一个节点（路径P与路径A在ni前面的节点都相同），那么f(ni)<=g(TA)<g(TP)=f(TP)，即f(ni)<f(TP)
(3)按照Best-First算法，如果f(ni)<f(TP)，那么应该选择扩展ni节点而非TP节点，与Best-First策略相矛盾。故A*算法选择的节点是目标节点，则该节点表示的解是优化解。