阶乘的素因子分解 51nod 1189

最新推荐文章于 2023-09-12 20:27:12 发布

lastone_rt

最新推荐文章于 2023-09-12 20:27:12 发布

阅读量946

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：算法 ACM

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/reborn_ZhMZ/article/details/47189005

本文详细介绍了如何通过素因子分解计算阶乘中特定质数的出现次数，包括递归方法的应用及关键公式推导。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

对 N! 进行素因子分解：

n! = 1*2*3*4*…*n,因此它一定含有小于等于n 的所有素数我们要对这些素数分别进行处理求出含有多少项。
例如我们求n!含有多少个素因子p

设f[n][p] 表示n!含有多少素因子p；

1*2*3*4*,,,,,*n = ( p*2p*3p*4p*,,,,*(n/p*p) ) * k 其中k不含有素因子p；

（注： n/p*p = (int)(n/p) * p）

这里把 n 以内的所有 p 的倍数拿出来，剩下的数组成 k ，很明显 k 里面不含有素因子p

1*2*3*4*…*n = p^(n/p) * (n/p)! * k ;

已知 k 里面不含有素因子 p ，那么此时只需要求 (n/p)! 包含的素因子 p 个数，这里又回到了母问题，所以用递归解决。

则有递归方程：f[n][p] = n/p + f[n/p][p]

51nod 1189 :

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const long long mod = 2e9+14;//最后ans要除以2 ，所以这里 mod 取 1e9+7 的2倍
bool isprime[1000005];
int prime[100000],tot = 0,temp,n;
long long num;
long long getNum(int n,int p){ //用int可能会超出范围
    if(n<p) return 0;
    return n/p + getNum(n/p,p);
}
int main() {
    memset(isprime,true,sizeof(isprime));
    for(int i=2;i<=1000;i++) {
        if(isprime[i]) prime[tot++] = i;
        for(int j=i*i;j<=1000000;j+=i) isprime[j] = false;
    }
    for(int i=1001;i<=1000000;i++) {
        if(isprime[i]) prime[tot++] = i; // prime 存储 1000000 以内素数
    }
    long long ans;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        ans = 1;
        for(int i=0;i<tot&&prime[i]<=n;i++) {
            num = getNum(n,prime[i]);
            ans *= (2*num+1);
            ans %= mod;
        }
        if(ans%2==1) ans++;
        ans %= mod;
        printf("%I64d\n",ans/2);
    }
}