Manacher‘s Algorithm 马拉车算法

最新推荐文章于 2023-03-21 12:31:52 发布

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本文介绍了Manacher's Algorithm，一种利用回文串对称性高效求解最长回文子串问题的算法。通过预处理将字符串转化为奇数回文串，并维护一个lens数组记录以每个字符为中心的最长回文半径。在更新过程中，考虑回文串边界情况，判断当前位置是否在已知回文串内，并据此计算当前回文半径。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Longest Palindromic Substring

跟之前算法没什么区别的地方就是，还是需要两两对比确定是否为Palidrome
maintain一个叫lens的array，lens[i] - 以i为中心的最大Palindrome的半径（包括自身）
example：s="OABAXABAO" -> lens[2] = 2, 以"B"为中心的最大Palindrome半径为2
计算方法为

lens[i] = 1
for(s[i+lens[i]] == s[i-lens[i]]){
    lens[i]++;
}

区别于之前两种算法，Manacher's Algorithm将palindrome的symmetric特性用到了极致

1.基本运用 我们还是看这条string s="OABAXABAO"，已知s是palindrome，左边B跟右边B关于X对称
更加神奇的是源于palidrome's symmetricity，lens[6] = lens[2] = 2 [右边B跟左边B最大Palindrome半径也相等]

2.左越界 But this is not always the case，比如说 s="XABAXABAO"，lens[2] = 3，lens[6] = 2 [左边B最大Palindrome半径为3，右边B最大Palindrome半径为2] 尽管两个B还是关于X对称，但是左边B最大Palindrome半径已经超过了X 最大Palindrome的管辖范围，所以右边B最大Palindrome半径不能单纯的利用对称，应该至少是lens[6] = 4 - 2 [右边B最大Palindrome半径为 index of X 减去index of 左边B]

3.右越界 这还没完，比如说 s="OABAXABAX"，lens[2] = 2，lens[6] = 3 [左边B最大Palindrome半径为2，右边B最大Palindrome半径为3] 同上，右边B最大Palindrome半径不能单纯的利用对称，应该至少是左边B最大Palindrome半径的大小。

稍稍总结一下，运用palindrome的对称性：
如果左右都不越界，右B最大Palindrome半径就是左B最大Palindrome半径
如果左越界，右B最大Palindrome半径就是至少是左B跟中心X的距离
如果右越界，右B最大Palindrome半径就是至少是左B最大Palindrome半径
[哈哈，但真实的世界总是给你一记耳光～] 其实遍历array的时候，根本就不能提前知道是否右越界，所以最后右B最大Palindrome半径应该至少是 min(lens[左B], 左B跟中心X的距离)

聪明的小伙伴可能发现了，你上面说的palidrome's symmetricity全都是奇数Palindrome啊？那偶数的怎么办啊？
来，不急～使用Manacher's Algorithm还需要预处理，在每个字母两边都要插入“#”，比如
"OABAXABAO" -> "#O#A#B#A#X#A#B#A#O#"
那就全变成奇数Palindrome了啊～～～开心?

接下来，解释code啦～

i - current index
mx - 之前出现Palindrome里右边到达的最远index （用于判断i是否在某个Palindrome里）
id - 之前出现右边到达的最远Palindrome的中心（用于得到i的对称点）
lens[i] = mx > i ? min(lens[2*id-1], mx-i) : 1;
mx > i：i是否在某个Palindrome里?
是：min(lens[2*id-1], mx-i)，至少为min(对称点的最大Palindrome半径, 对称点到中心的距离)
否：1
然后用最开始提到的方法计算最终的最大Palindrome半径，update各种variables

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        if(s.empty()) return "";
        string t = "$#";
        for(char c: s){
            t += c;
            t += '#';
        }
        vector<int> lens(t.size(), 0);
        int mx=0, id=0, resLen=0, resCenter=0;
        for(int i=1;i<t.size();i++){
            lens[i] = mx > i ? min(lens[2*id-i], mx-i):1;
            while(t[i+lens[i]]==t[i-lens[i]]) lens[i]++;
            if(mx<i+lens[i]){
                mx = i+lens[i];
                id = i;
            }
            if(resLen<lens[i]){
                resLen = lens[i];
                resCenter = i;
            }
        }
        return s.substr((resCenter - resLen) / 2, resLen - 1);
    }
};

Reference:
http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4475985.html
https://blog.crimx.com/2017/07/06/manachers-algorithm/