10、MATLAB 中的函数零点求解与数据处理

MATLAB 中的函数零点求解与数据处理

1. 高维函数的零点求解

在求解函数零点的过程中，牛顿 - 拉夫逊（Newton - Raphson）方法可扩展用于寻找高维函数的零点。对于函数 (f(x))，假设零点出现在 (x = x^ )，当前迭代值为 (x_g)，且 (x^ = x_g + h)。根据定义 (f(x^*) = 0)，由多维泰勒级数可得：
[0 = f(x_g + h) = f(x_g) + \nabla f| {x_g} \cdot h + O(|h|^2)]
当 (O(|h|^2)) 足够小可忽略时，可解出 (h)：
[h = -A^{-1}f(x_g)]
其中矩阵 (A) 的元素 (a {i,j} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j})。

例如，对于函数 (f: R^2 \to R^2)，(f(x) = (f, g) = (x^2 - y^2 + 3, (x + 2)^2 - y))，矩阵 (A) 为：
[\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \
\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
2x & -2y \
2(x + 2) & -1
\end{bmatrix}]
求解该函数零点的代