高斯消元解线性方程组

本文介绍了高斯消元法解线性方程组的原理和步骤,包括初等行变换、归一化和消元过程,并讨论了无回带的高斯-约当消去法。在变换过程中,强调了原地工作的重要性,即将变换后的元素存放在原存储单元,以减少额外的空间需求。最后,阐述了解线性方程组的回带求解过程。

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高斯消去法是消去法的一种特殊形式,它包括消元和回带两个过程。

高斯消去法求解线性方程组分为以下两大步:

1、将系数矩阵A经过一系列的初等行变换编程右上三角矩阵,其常数向量B也同时做相应的变换,即:


在变换过程中,采用原地工作,即经变换后的元素仍存放在原来的存储单元中。

为了实现上述目标,对于k从1到N-1作以下2步

(1):归一化
这一步的作用是将主对角线上的元素变为1,为此,第k行上的所用元素a[k][j](j=k+1,...N)与常数向量b[k]都要除以a[k][k].但由于变换后的元素仍存放在原来的存储单元中,因此,为了不影响第k行其他元素的变换(都要除以a[k][k])一开始没有将

a[k][k]变为1,并且最后也没有真正将a[k][k]变为1,因为a[k][k]是否真正变为1已经无关紧要了,只要在以后得变换中将a[k][k]认为是1就可以了.

(2):消元
将第k列中主对角线以下的元素消成0,为此,第i(i=k+1,...N)行的其他元素a[i][j](j=k+1,...N)与常数向量B中的元素b[i]都要减去第k行对应元素的a[i][k

好的,我可以为您介绍一下 C 语言实现高斯消线性方程组的方法。 首先,我们需要定义一个二维数组来存储系数矩阵和常数向量,例如: ``` float A[N][N+1]; ``` 其中,N 表示方程组的未知数个数。这个数组的第 i 行第 j 列表示系数矩阵中第 i 行第 j 列的素,而最后一列则是常数向量。 接下来,我们需要进行高斯消的主要操作。具体步骤如下: 1. 针对每一列,找到该列中绝对值最大的素,并将该素所在的行与当前行交换。 2. 对于第 i 行,将其第 i 个素除以该行第 i 列的系数,以使得第 i 个素变为 1。 3. 对于第 j 列(j>i),将第 j 行减去第 i 行的系数乘以第 j 列的素,以使得第 j 列的第 i 个素变为 0。 4. 重复步骤 1-3,直到所有的未知数都求出来。 最后,我们可以通过回代法计算出每个未知数的值,具体方法如下: 1. 从最后一行开始,计算出该行未知数的值。 2. 对于第 i 行(i<n),计算出第 i 个未知数的值,即将第 i 行第 i+1 至第 n 个未知数的值带入方程中,计算出第 i 个未知数的值。 3. 重复步骤 1-2,直到所有的未知数都求出来。 以上就是 C 语言实现高斯消线性方程组的基本步骤。需要注意的是,在实际应用中,可能会遇到系数矩阵不满足条件、有多或无等问题,需要根据具体情况进行特殊处理。
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