6、有限脉冲响应（FIR）滤波器的窗口设计方法

有限脉冲响应（FIR）滤波器的窗口设计方法

1. FIR 滤波器设计概述

FIR 滤波器的设计目标是在频率范围 $\omega \in [-\pi, \pi]$ 内，使设计出的滤波器频率响应 $H(e^{j\omega})$ 以可接受的方式逼近期望响应 $H_d(e^{j\omega})$。这里 $\omega = \pi$ 对应归一化的奈奎斯特频率，期望的 FIR 频率响应表示为 $H_d(e^{j\omega}) = |H_d(e^{j\omega})| \angle H_d(e^{j\omega})$。

比较的指标通常基于误差准则，在频域中，近似误差定义为：
$\varepsilon(\omega) = H_d(e^{j\omega}) - H(e^{j\omega})$

一种流行的 FIR 设计策略是最小均方误差（MSE）准则，即最小化：
$\min \sum_{\omega \in [-\pi, \pi]} \varphi(\omega) \varepsilon^2(\omega)$

MSE 方法的优点是广为人知，但缺点是尽管大部分基带频率误差可能较小，但仍可能出现较大的局部误差。不过，常见的 MSE FIR 设计策略已被软件实现，创建和评估这些滤波器不再是难题。

2. 基于窗口的设计方法

2.1 理想低通滤波器模型

一种简单的 FIR 设计方法始于一个理想（又称矩形）低通滤波器模型，其非因果脉冲响应为：
$h[k] = \frac{\sin(\pi k / 2)}{\pi k}$

该滤波器的脉冲响应是无限长的，因此无法物理实现。但如