17、诺里奇和黄氏理论的错误假设与推导问题剖析

诺里奇和黄氏理论的错误假设与推导问题剖析

1. 响度方程基础

响度方程最初表示为：
[L = \frac{k}{2} \ln\left(1 + \gamma\left(\frac{I}{I_{th}}\right)^n\right)]
其中，(k)在早期研究中被视为“比例常数”，其值由实验者的任意刻度单位决定。诺里奇和黄氏假设(k)与强度和频率无关。(I_{th})是“阈值强度”，他们还定义了“响度阈值”(L_{th})：
[L(I_{th}) = L_{th} = \frac{k}{2} \ln(1 + \gamma)]
通过一系列推导，得到新的响度方程：
[L = \frac{k}{2} \ln\left(\frac{1 + \gamma\left(\frac{I}{I_{th}}\right)^n}{1 + \gamma}\right) \quad (I > I_{th})]

2. 韦伯分数推导

诺里奇和黄氏对上述响度方程求导，得到：
[\frac{dL}{dI} = \frac{k}{2} \frac{n\gamma I^{n - 1}I_{th}^{-n}}{1 + \gamma\left(\frac{I}{I_{th}}\right)^n}]
经过重新整理和替换（将(dL)替换为(\Delta L)，(dI)替换为(\Delta I)），得到韦伯分数：
[\frac{\Delta I}{I} = \frac{2\Delta L}{nk} \left(1 + \frac{1}{\gamma}\left(\frac{I_{th}}{I}\right)^n\right)]
他