23、拜占庭容错算法解析与实践应用

拜占庭容错算法解析与实践应用

1. 口头消息算法正确性证明

在解决拜占庭将军问题时，口头消息算法（Oral Message Algorithms）的正确性至关重要。我们先证明引理 7.1：对于任意的 f 和 0 ≤ k ≤ f，当将军总数大于 3f 时，算法 OM(k) 满足交互一致性 IC2 要求。
- k = 0 情况 ：当 k = 0 时，算法 OM(0) 满足 IC2 要求。因为在 OM(0) 中，所有副官从忠诚的指挥官那里收到相同的值，所以所有忠诚的副官会使用指挥官发送的相同值。
- 归纳证明 ：假设引理对于 k - 1（1 ≤ k ≤ f）成立，证明对于 k 也成立。在 OM(k) 实例中，有 n - (f - k) - 1 个副官。由于指挥官是忠诚的，它向所有副官发送相同的值 v。每个忠诚的副官会执行一个涉及 n - (f - k) - 2 个副官的 OM(k - 1) 实例。根据归纳假设，在 OM(k - 1) 实例中，指挥官和所有忠诚的副官会就指挥官发送的相同值达成一致。这意味着在 OM(k) 中，一个忠诚的副官 i 收到值 v 后，它的所有副官也会同意 v。即，在每个这样的副官 j 处，其关于 i 的 v 变量在 OM(k - 1) 结束时被设置为 v（vi = v）。
- 多数忠诚副官证明 ：因为有 n - (f - k) - 1 个副官，n > 3f，且 k ≥ 1，所以 n - (f - k) - 1 > 3f - f + k - 1 ≥ 2f。这意味着在每个忠诚的副官处，其 v 变量的多数值为 v。因此，在步骤 (3) 中，v 变量集合上