66、运动规划的下界框架

运动规划的下界框架

在运动规划领域，尤其是存在动态障碍物的情况下，准确计算出最优解的下界是一个关键问题。本文将介绍一种用于计算运动规划问题下界的框架，该框架由两部分组成：双级离散化方法和图搜索算法LB - A*。我们将详细探讨其原理、计算复杂度，并通过数值实验验证其有效性。

1. 计算最早可达时间

对于每个顶点 (v \in V)，可根据障碍物的轨迹预先计算出可达区间集合 ({Itv(v)})，且集合中的区间互不重叠。将这些区间按起始时间从小到大排序，第 (j) 个区间记为 (Itv_j(v))，(j = 1, 2, \cdots, J)（(J) 为有限数）。

要计算从顶点 (v) 到 (u) 的最早可达时间， EarliestReach(v, u) 会迭代检查每个可达区间 (Itv_j(u) = [t_{a_j}, t_{b_j}])，找到第一个满足 (t_{b_{j’}} \geq g(v) + cost(v, u)) 的区间 (Itv_{j’}(u) = [t_{a_{j’}}, t_{b_{j’}}])。机器人可通过在 (v) 处等待然后移动到 (u)，最早可达时间为 (\max{t_{a_{j’}}, g(v) + cost(v, u)})。当 (t_{a_{j’}} > g(v) + cost(v, u)) 时，机器人在 (v) 处等待 (t_{a_{j’}} - (g(v) + cost(v, u))) 时间，然后花费 (cost(v, u)) 时间从 (v) 移动到 (u)。

2. 分析

2.1 下界

• 线段指示函数