65、二维动态障碍物中运动规划的下界框架

二维动态障碍物中运动规划的下界框架

1. 引言

在机器人领域，寻找无碰撞轨迹的运动规划问题是最基本的问题之一。本文聚焦于二维动态障碍物运动规划问题（MPDO），目标是为点机器人在动态障碍物环境中找到从起始位置到目标位置的无碰撞轨迹，同时使到达时间最短。这些障碍物可以是任意形状，并且沿着已知轨迹移动。

若障碍物是静态的，根据其形状，有多种算法能在多项式时间内找到最优或有界次优解。但在动态障碍物存在的情况下，该运动规划问题是NP难问题。目前，对于具有任意轨迹的通用障碍物的MPDO，尚无找到最优解的算法。不过，针对某些特殊情况，有一些方法可以找到最优解，例如假设障碍物是沿固定方向匀速移动的凸多边形，可通过构建三维“可达性图”找到最短时间轨迹；若障碍物形状为多边形，可利用连续Dijkstra范式计算最优解；当障碍物和机器人路径均为直线时，最近也开发出了时间复杂度更低的改进版连续Dijkstra范式。然而，这些方法仅在理论上可行，缺乏实际实现和性能的数值结果。

虽然找到最优解具有挑战性，但已有许多算法可计算MPDO的可行解，如基于搜索的规划器、路径 - 速度分解方法和基于采样的方法。但目前没有先验或后验界限来量化这些可行解与最优解的偏差。

在缺乏寻找最优解的方法时，下界可作为最优解的代理。一些基线方法能找到平凡下界，如移除动态障碍物或放宽避碰约束，但这些界限往往与最优解相差甚远，不能很好地估计最优解。本文的目标是开发一个框架，为二维MPDO提供最优解的紧密估计，且不对动态障碍物的形状或运动做任何假设。该框架由两部分组成：一是将MPDO转换为离散图上的松弛路径规划问题的双层离散化方法；二是使用基于A*的算法求解松弛问题以获得下界。

2. 预备知识 <