35、机器人任务复杂度比较框架探索

机器人任务复杂度比较框架探索

1. 任务约简与等价的基本性质

1.1 任务约简的性质

任务约简存在以下重要性质：
- 自反性（Reflexivity） ：$\tau_1 \preceq \tau_1$，这意味着一个任务自身是可以约简到自身的，直观上，如果两个任务相同，策略无需进行转换就能适用。
- 反对称性（Antisymmetry） ：若$\tau_1 \prec \tau_2$（定义为$(\tau_1 \preceq \tau_2) \land \neg(\tau_1 \equiv \tau_2)$），则$\neg(\tau_2 \preceq \tau_1)$。这建立了任务之间复杂度的“主导”关系，如果任务$\tau_1$严格约简到任务$\tau_2$，那么$\tau_2$不应约简到$\tau_1$。
- 传递性（Transitivity） ：若$(\tau_1 \preceq \tau_2) \land (\tau_2 \preceq \tau_3)$，则$\tau_1 \preceq \tau_3$。传递性确保了可以构建一个复杂度递增的任务链。

1.2 任务等价的性质

假设对于所有$(\tau_{\xi}, \tau_{\zeta}) \in T^2$，$H_{\xi,\zeta}$和$G_{\zeta,\xi}$包含恒等函数且在$T$上关于复合运算封闭，那么任务等价满足以下性质，从而定义了一个等价关系：
- 自反性 ：$\tau_1 \equiv \t