【刷题笔记】 AOV网的拓扑排序

有向无环图（DAG）

如果一个有向图不存在环，也就是任意结点都无法通过一些有向边回到自身，那么称这个有向图为有向无环图

AOV 网络

在有向图中，用顶点表示活动，用有向边 <i,j> 表示活动i是活动j的必须条件，这种有向图称为用顶点表示活动的网络（Active on vertices)，简称AOV网络。

在AOV网络中，如果活动Vi必须在Vj之前进行，则存在有向边，称Vi为Vj的直接前驱，Vj为Vi的直接后继，这种前驱与后继的关系具有传递性和反自反性（AOV网络中不能出现回路，有向环）。

检测有向环->拓扑排序

如果拓扑排序能够将AOV网络的所有顶点都排入一个拓扑有序的序列中，则说明该AOV网络中没有有向环。

⭐算法描述

•         拓扑排序的关键是反复找到并移除入度为 0 的顶点（即没有前驱依赖的活动），并更新其邻接顶点的入度，直到所有顶点都被处理或发现环（此时无法完成拓扑排序）。

        给出 n 个任务，每两个任务之间有相互依赖关系，比如 A 任务一定要在 B 任务之前完成才行，问是否可以完成所有任务。这就是标准的 AOV 网的拓扑排序问题。

拓扑排序问题的解决办法主要是循环执行以下两步，直到不存在入度为0的顶点为止：

• 选择一个入度为0的顶点并输出；
• 从网中删除此顶点及所有出边。

循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则输出“有回路”信息，即无法完成所有任务；否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列，即可以完成所有任务。

具体步骤：

1. 初始化入度数组：计算所有顶点的入度（指向该顶点的边的数量）。

2. 初始化队列：将所有入度为 0 的顶点加入队列（这些顶点没有前驱，可以优先执行）。

3. 处理队列中的顶点：

•         从队列中取出一个顶点 u，将其加入拓扑排序结果列表。
•         遍历 u 的所有邻接顶点 v，将 v 的入度减 1（因为 u 已被处理，依赖关系解除）。
•         若 v 的入度减为 0，将其加入队列。

4. 检查结果：

•         若拓扑排序结果包含所有顶点，则排序成功。
•         否则，图中存在环，无法进行拓扑排序。

代码示例

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

// 拓扑排序函数
// 参数：n为顶点数，adj为邻接表，返回拓扑排序结果（空表示存在环）
vector<int> topologicalSort(int n, const vector<vector<int>>& adj) {
    vector<int> inDegree(n, 0);  // 入度数组
    // 计算每个顶点的入度
    for (int u = 0; u < n; ++u) {
        for (int v : adj[u]) {
            inDegree[v]++;
        }
    }

    queue<int> q;  // 存储入度为0的顶点
    for (int u = 0; u < n; ++u) {
        if (inDegree[u] == 0) {
            q.push(u);
        }
    }

    vector<int> result;  // 拓扑排序结果
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        result.push_back(u);

        // 处理u的邻接顶点，更新入度
        for (int v : adj[u]) {
            inDegree[v]--;
            if (inDegree[v] == 0) {
                q.push(v);
            }
        }
    }

    // 若结果包含所有顶点，则排序成功；否则存在环
    if (result.size() != n) {
        return {};  // 空列表表示有环
    }
    return result;
}

int main() {
    // 示例：AOV网（顶点0~3）
    // 边：0->1, 0->2, 1->3, 2->3
    int n = 4;
    vector<vector<int>> adj = {
        {1, 2},   // 0的邻接顶点
        {3},      // 1的邻接顶点
        {3},      // 2的邻接顶点
        {}        // 3的邻接顶点
    };

    vector<int> res = topologicalSort(n, adj);
    if (res.empty()) {
        cout << "存在环，无法拓扑排序" << endl;
    } else {
        cout << "拓扑排序结果：";
        for (int u : res) {
            cout << u << " ";
        }
        // 可能的输出：0 1 2 3 或 0 2 1 3（拓扑排序结果不唯一）
    }
    return 0;
}