noip 2013 洛谷 P1967 货车运输

题目：货车运输

大致题意：
给出一张无向带权图，对于m个询问（X，Y），要求找出X到Y的一条路径使得路径上的最小边权最大，并输出这个最小边权。

思路：
可以看出，X到Y的满足条件的路径一定在原图的最大生成树上。
update ： (2018/10/24) 证明的话网上好像没有，如图：

假设黑边是用kruskal求出的最大生成树，要求的是最左边的两个点间的最大的最小边权。
再假设绿色的边是这两点间的黑色路径中的最小值。
现在两点间连上一条红色的虚线边，要证明红色的边是小于绿色的边的。
根据kruskal算法的加边原理，我们知道只要不构成环，就会从大到小顺序加边。
假如红边大于绿边，那么红边在执行kruskal时一定先被遍历到，此时由于还没有遍历到绿边，所以红边是一定会被加入的（即如果红边加入后会形成环，那么绿边加入后也会形成环）。
但是由于红边不在最大生成树中，所以红边一定小于绿边。
尝试在这两点间寻找其他路径，同理可证最大的最小边权一定比最大生成树上的要小。

那么就可以用kruskal先预处理出原图的最大生成树，此时就可以用并查集判断出X到Y无路径的情况。
而找到这条路径，就可以采用倍增求LCA的方法。
即在倍增预处理anc[][]时，顺便处理一个边权v[][]，代表每个节点到他的第 2^i 层祖先的最大最小边权。
在倍增求LCA时，X和Y每向上跳一层，就用此时的v[][]更新ans。
注意图可能不连通。

ps：祝贺本蒟蒻博客300篇达成！

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define maxn 100000
#define maxm 500000
#define bin 22
#define inf (1<<30)

struct Edge {
	int x,y,z;
	Edge() {}
	Edge(int xx,int yy,int zz) {
		x=xx,y=yy,z=zz;
	}
	bool operator < (const Edge& oth) const {
		return z>oth.z;
	}
};

int n,m;
vector<Edge> e;
int fa[maxn+5]= {0};

vector<Edge> tr[maxn+5];
int f[maxn+5]= {0};
int d[maxn+5]= {0};

int anc[maxn+5][bin+5]= {0};
int v[maxn+5][bin+5]= {0};

void readin() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1; i<=m; i++) {
		int x,y,z;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		if(x>y) swap(x,y);
		e.push_back(Edge(x,y,z));
	}
}

int find(int x) {
	if(-1==fa[x]) return x;
	else return fa[x]=find(fa[x]);
}

void init() {
	sort(e.begin(),e.end());
	memset(fa,-1,sizeof(fa));
}

void kruskal() {
	init();
	for(int i=0; i<e.size(); i++) {
		int x=e[i].x,y=e[i].y;
		int f1=find(x),f2=find(y);
		if(f1==f2) continue;
		fa[f1]=f2;
		tr[x].push_back(e[i]);
		tr[y].push_back(e[i]);
	}
}

void make_tree(int x) {
	anc[x][0]=f[x];
	for(int i=0; i<tr[x].size(); i++) {
		int y=(tr[x][i].y==x?tr[x][i].x:tr[x][i].y);
		if(y==f[x]) continue;
		f[y]=x;
		d[y]=d[x]+1;
		v[y][0]=tr[x][i].z;
		make_tree(y);
	}
}

void initLCA() {
	for(int i=1; i<=bin; i++) {
		for(int x=1; x<=n; x++) {
			anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
			v[x][i]=min(v[x][i-1],v[anc[x][i-1]][i-1]);
		}
	}
}

int lca(int x,int y) {
	int ans=inf;
	for(int i=bin; i>=0; i--) {
		if(d[y]<=d[anc[x][i]]) {
			ans=min(ans,v[x][i]);
			x=anc[x][i];
		}
	}
	if(x==y) return ans;
	for(int i=bin; i>=0; i--) {
		if(anc[x][i]!=anc[y][i]) {
			ans=min(ans,min(v[x][i],v[y][i]));
			x=anc[x][i],y=anc[y][i];
		}
	}
	ans=min(ans,min(v[x][0],v[y][0]));
	return ans;
}

void query() {
	int q;
	scanf("%d",&q);
	while(q--) {
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if(find(x)!=find(y)) {
			printf("-1\n");
			continue;
		}
		if(d[x]<d[y]) swap(x,y);
		int LCA=lca(x,y);
		printf("%d\n",LCA);
	}
}

int main() {
	readin();
	kruskal();
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		if(!f[i]) {
			d[i]=1;
			make_tree(i);
		}
	}
	initLCA();
	query();
	return 0;
}