26、基于反向过程的状态相关速率与半积形式

基于反向过程的状态相关速率与半积形式

1. 引言

在随机系统建模中，状态相关速率的模型求解是一个重要的研究方向。本文将介绍如何利用反向过程来寻找具有全局状态相关速率模型的半积形式解，通过分析相关的条件和特殊情况，为解决这类问题提供有效的方法。

2. 正向与反向模型

• 正向模型 ：考虑一个双队列串联排队模型，外部到达被视为独立的泊松过程，到达节点 1 和节点 2 的速率分别为 $p_{01}\lambda(x, y)$ 和 $p_{02}\lambda(x, y)$，且 $\sum_{j\neq i} p_{ij} = 1$，其中 $i, j = 0, 1, 2$。
• 反向模型 ：对于每个平稳马尔可夫过程，都存在一个具有相同状态空间和稳态概率分布的反向过程。正向和反向过程的状态转移相关，反向过程中状态 $x$ 到 $x’$ 的非零转移速率 $q’ {x,x’}$ 当且仅当正向过程中状态 $x’$ 到 $x$ 存在非零转移速率 $q {x’,x}$。可逆过程是一种特殊情况，其中反向过程与正向过程随机相同，即 $q’ {x,x’} = q {x’,x}$。

在平衡状态下，正向和反向概率通量平衡，即 $\pi’ {x}q’ {x,x’} = \pi_{x’}q_{x’,x}$，由此可得 $q’ {x,x’} = \frac{\pi {x’}q_{x’,x}}{\pi_{x}}$。Kolmogorov 广义准则利用这些平衡方程直接关联正向和反向转移，对于任意