23、随机标记图性能估计与乘积形式模型求解算法

随机标记图性能估计与乘积形式模型求解算法

1. 随机标记图（SMG）示例与吞吐量计算

为了说明相关概念，我们以一个随机标记图（SMG）为例。该 SMG 的初始标记为：$m(p1) = m(p2) = 1$，$m(p8) = 2$，$m(p13) = 3$，其余位置初始无令牌。各转移的延迟分别为：$\delta(t1) = 1.2$，$\delta(t2) = 1$，$\delta(t3) = 1.5$，$\delta(t4) = \delta(t5) = 1$，$\delta(t6) = 0.75$，$\delta(t7) = 1$，$\delta(t8) = 1.25$，$\delta(t9) = 0.5$。

通过应用线性规划问题（LPP），我们可以得到该 SMG 的最大吞吐量$\Theta = 0.3704$。同时，求解 LPP 还能得到紧密标记向量，例如：$\tilde{m}(p1) = 0.6296$，$\tilde{m}(p2) = 0.4444$等。

有趣的是，当我们仅考虑紧密位置及其输入和输出转移时，会得到一个 SMG，其中唯一的强连通分量是关键循环。其余紧密位置及其输入和输出转移构成一种树结构，关键循环为根，所有转移都能到达。

2. 图再生策略

图再生策略是一种迭代策略，用于扩展关键循环并计算吞吐量上限。其基本思想是在每次迭代中添加可能比其他循环更具限制性的循环，然后计算吞吐量。由于在网络中添加了更多约束，每次迭代得到的吞吐量不会高于上一次迭代的结果。当边界没有显著改善时，迭代过程将停止。

算法输入 ：$\langle N, \delta \rangle$，$\v