12、概率程序循环等价性判定技术解析

概率程序循环等价性判定技术解析

1. PGF 语义性质

PGF（概率生成函数）语义具有一些重要性质。除了 while 循环外，所有程序都能以（有理）闭式对输入 PGF 进行操作，即无需将输入展开为无穷级数。
- 定理 1（闭式保留） ：设 P 是无循环的 ReDiP 程序，$g = h/f \in PGF$ 为有理闭式。则可通过应用相关变换计算出 $\langle P \rangle(g) \in PGF$ 的有理闭式。
- 定理 2（$\langle P \rangle$ 的性质） ：PGF 变换器 $\langle P \rangle$ 具有以下性质：
- 是定义良好的函数 $PGF \to PGF$。
- 连续，即对于所有链 $\Gamma \subseteq PGF$，有 $\langle P \rangle(sup \Gamma) = sup\langle P \rangle(\Gamma)$。
- 线性，即对于所有 $g \in PGF$，有 $\langle P \rangle(\sum_{\sigma \in N^k} g(\sigma)X^{\sigma}) = \sum_{\sigma \in N^k} g(\sigma)\langle P \rangle(X^{\sigma})$。

2. 概率终止性

由于可能存在无界的 while 循环，ReDiP 程序不一定会终止，或仅以一定概率终止。这里定义了几乎必然终止（AST）和普遍几乎必然终止（UAST）：
- 定义 4（AST） ：对于