20、参数与变量估计及卡尔曼滤波详解

参数与变量估计及卡尔曼滤波详解

1. 参数估计相关基础

在参数估计中，我们有公式 $\text{Var}{\hat{x} {ML}-x}=\sigma {\epsilon}^{2}$ ，这表明估计的准确性受测量精度的限制，这是一个合理的结论。

在最优传感器布置的情境下，我们会用到最大似然（ML）估计器和克拉美 - 罗下界（CRB）。目标是寻找一种传感器设置，使得估计精度达到最优，也就是最小化 CRB。CRB 是费舍尔信息或费舍尔信息矩阵（FIM）的逆，FIM 的定义如下：
[
\text{FIM}(x)=\text{CRB}^{-1}(x)=E\left{\left(\frac{\partial\ln\Lambda(x)}{\partial x}\right)^{2}\right}=-E\left{\frac{\partial^{2}\ln f_{Y|X}(y|x)}{\partial x^{2}}\right}
]
FIM 衡量了可观测随机变量 $y$ 携带的关于未知参数/变量 $x$ 或参数/变量向量 $\mathbf{x}$ 的信息量。对于向量 $\mathbf{x}$ ，FIM 是一个方阵，其维度等于 $\mathbf{x}$ 中元素的数量。

为了获取最大信息量，有几种数学上可追踪的问题可以表述为“最大化 FIM”（从而“最小化 CRB”），根据 Ucinski（2004）的分类，可分为以下三类：
- D - 最优设计 ：最大化 FIM 的行列式。
- A - 最优设计 ：最小化 FIM 的迹。
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