13、控制与系统工程中的数学工具：状态空间与离散化

控制与系统工程中的数学工具：状态空间与离散化

1. 时域与频域分析基础

在控制与系统工程领域，系统可分为时不变和时变系统。若系统参数随时间变化，则为 时变系统；对于线性时变系统，其参数是时间 (t) 的函数，对应的方程是变系数线性常微分方程。

处理时域中由微分方程描述的系统及其脉冲响应函数（IRF）颇具挑战，特别是在控制理论中常见的复杂系统结构下。因此，通常会将系统描述转换到频域，常用傅里叶变换或拉普拉斯变换，控制理论中多使用拉普拉斯变换。若系统是因果的，其 IRF 的拉普拉斯变换一定存在，且系统不要求稳定；而傅里叶变换存在的充分条件是系统稳定，不要求因果，所以傅里叶变换在信息技术领域更为重要。

在频域中，有多种工具可用于控制理论中的典型任务，如稳定性研究或控制器设计，特别是对于线性时不变（LTI）系统。自 20 世纪 40 年代以来，在频域中解决控制任务成为控制理论领域的经典方法。不过，自 20 世纪 60 年代起，基于匈牙利 - 美国数学家 Rudolf E. Kálmán 的工作，状态空间描述成为一种重要的替代方法。这两种技术至今仍被广泛使用，因为它们在具体应用场景中各有优势。

2. 状态空间表示法

2.1 引入必要性及与频域方法的比较

对于单输入单输出（SISO）系统，经典的控制理论问题解决方法是对系统描述进行拉普拉斯变换，并在频域中求解。在频域中解决 SISO 系统问题通常更容易，但如果结果需要在时域中得到，则需要进行逆拉普拉斯变换，这可能需要一些繁琐的预计算。而采用状态空间方法可以在不离开时域的情况下解决问题。

状态空间描述在某些场景下具有显著优势：
- 状态空间表示法为