9、数据结构中的树：从基础到红黑树的深入解析

数据结构中的树：从基础到红黑树的深入解析

1. 栈、队列与树的基础概念

在数据结构中，栈和队列常使用数组实现。插入操作在数组有空间时能以线性时间执行（最佳情况），但也可能导致内存重新分配和元素移动（最坏情况）。不过，通过合理管理数组，最坏情况很少发生。其算法复杂度如下：
| 操作 | 复杂度 |
| ---- | ---- |
| 访问 | O(n) |
| 搜索 | O(n) |
| 插入 | 平均 O(1)，最坏 O(n) |
| 删除 | O(1) |

栈、队列和树有一个共同点，它们都可以用列表表示。从队列头部或栈顶开始，沿着每个元素仅连接下一个元素的结构，最终到达队列尾部或栈底。这种简单性使它们易于实现，但性能并不出色。在列表末尾添加和删除元素很快，但访问和搜索操作较慢。

2. 树的定义与基本性质

树是一种与栈和队列不同的数据结构，它可以简单也可以复杂，更重要的是，它可以实现平衡。树可以通过递归定义：
- 空树；
- 一个节点指向零个或多个树。

每个非空树都有一个根节点，根节点连接零个或多个子节点，子节点又连接零个或多个节点，依此类推。没有子节点的节点称为叶子节点。除根节点外，每个子节点都有且仅有一个父节点，这一规则防止树形成循环变成图。

节点有两个重要属性：
- 高度 ：从节点到其可访问的叶子节点的最长路径长度（不经过父节点）。树的高度定义为根节点的高度，叶子节点高度为 0。高度也可递归定义：若节点无子女，高度为 0；否则为其子女最大高度加 1。
- 层