堆 heap

堆（英语：Heap）是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。在队列中，调度程序反复提取队列中第一个作业并运行，因为实际情况中某些时间较短的任务将等待很长时间才能结束，或者某些不短小，但具有重要性的作业，同样应当具有优先权。堆即为解决此类问题设计的一种数据结构。
逻辑定义
n个元素序列{k1,k2…ki…kn},当且仅当满足下列关系时称之为堆：
(ki <= k2i,ki <= k2i+1)或者(ki >= k2i,ki >= k2i+1), (i = 1,2,3,4…n/2)
堆的实现通过构造二叉堆（binary heap），实为二叉树的一种；由于其应用的普遍性，当不加限定时，均指该数据结构的这种实现。这种数据结构具有以下性质。
任意节点小于（或大于）它的所有后裔，最小元（或最大元）在堆的根上（堆序性）。
堆总是一棵完全树。即除了最底层，其他层的节点都被元素填满，且最底层尽可能地从左到右填入。
将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。常见的堆有二叉堆、斐波那契堆等。
二叉堆
二叉堆故名思议是一种特殊的堆，二叉堆具有堆的性质（父节点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值），二叉堆又具有二叉树的性质（二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树）。当父节点的键值大于或等于（小于或等于）它的每一个子节点的键值时我们称它为最大堆（最小堆）。
完全二叉树是增加了限定条件的二叉树。假设一个二叉树的深度为n。为了满足完全二叉树的要求，该二叉树的前n-1层必须填满，第n层也必须按照从左到右的顺序被填满。
插入
新插入的节点new放在完全二叉树最后的位置，再和父节点比较。如果new节点比父节点小，那么交换两者。交换之后，继续和新的父节点比较…… 直到new节点不比父节点小，或者new节点成为根节点。
删除
让最后一个节点last成为新的节点，从而构成一个新的二叉树。再将last节点不断的和子节点比较。如果last节点比两个子节点中小的那一个大，则和该子节点交换。直到last节点不大于任一子节点都小，或者last节点成为叶节点。

以下C代码可以直接运行，有不妥当的地方望指正~

/*
堆
使用数组arr实现堆，arr[0]来存储堆的大小，从arr[1]开始存储元素
构建的是小顶堆
*/
#include <stdio.h>
void buildHeap(int *arr,int n);
void insert(int *arr,int target);
void bottom_up(int *arr);
void top_down(int *arr);
int  delete_root(int *arr);
void heapSort(int *arr);
/*
arr：堆数组
n: 要建的堆的长度
*/
void buildHeap(int *arr,int n)
{
    int i=1;
    for(;i<=n;i++)
        insert(arr,arr[i]);
}

/*
插入操作，把新插入的节点放在完全二叉树最后面的位置，然后开始自下而上的比较，
如果新节点比其父节点小(小顶堆)，那就进行交换；新的父节点在与其父节点进行比较...
直到儿子节点大于父节点或者到达顶节点结束
*/
/*
arr: 堆数组
target:要插入的元素
*/
void insert(int *arr,int target)
{
    arr[0]++;
    arr[arr[0]]=target;
    bottom_up(arr);
}
void bottom_up(int *arr)//自下而上处理 从最后一个元素往上处理
{
    int nChild=arr[0];
    int parent=nChild/2;
    while(parent>0 && arr[nChild]<arr[parent])
    {
        arr[nChild]=arr[nChild]^arr[parent];
        arr[parent]=arr[nChild]^arr[parent];
        arr[nChild]=arr[nChild]^arr[parent];
        nChild=parent;
        parent=nChild/2;
    }

}
/*
删除操作：只能删除根节点，根节点删除后，会得到两个子树，需要进行重构堆，进行的操作为，
让最后一个节点last成为根节点，然后进行向下比较，如果根节点大于其中一个儿子节点，则交换位置，
直到父节点不大于儿子节点或到叶子为止。
*/
int  delete_root(int *arr)
{
    if(arr[0]<1)
        return -1;
    int res=arr[1];
    int nChild=arr[0];
    arr[0]--;
    arr[nChild]=arr[nChild]^arr[1];
    arr[1]=arr[nChild]^arr[1];
    arr[nChild]=arr[nChild]^arr[1];
    top_down(arr);
    return res;

}
void top_down(int *arr)//从第一个元素往下处理
{
    int nChild;
    int parent=1;
    nChild=parent<<1;
    while(nChild<=arr[0])
    {
        if(nChild+1<=arr[0] && arr[nChild]>arr[nChild+1])
            nChild++;
        if(arr[parent]<=arr[nChild])
            break;
        arr[nChild]=arr[nChild]^arr[parent];
        arr[parent]=arr[nChild]^arr[parent];
        arr[nChild]=arr[nChild]^arr[parent];
        parent=nChild;
        nChild=parent<<1;
    }
}
/*
1.首先将待排序的元素构建二叉堆
2.执行删除操作，并不真正删除，把头结点与尾节点交换，并形成新的堆
3.重复步骤2
*/
void heapSort(int *arr)//堆排序
{
    int len=arr[0],i=arr[0];
    while(--i)
    {
        delete_root(arr);
    printf("arr[0]:%d\n",arr[0]);
    }
    arr[0]=len;
}

int main(int argc,char **args)
{
    int arr[30]={0,9,88,23,45,9,100,200,230,234,453,12};
    int i=0;
    buildHeap(arr,10);
    insert(arr,2);
    for(i=0;i<=arr[0];i++)
    {
        printf("%d  ",arr[i]);
    }
    //printf("%d\n",delete_root(arr));
    printf("\n");
    heapSort(arr);
    for(i=0;i<=arr[0];i++)
    {
        printf("%d  ",arr[i]);
    }

    printf("\n");
    return 0;
}