HDU3652(数位DP)

最新推荐文章于 2019-11-16 19:39:35 发布

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本文通过一道具体题目，介绍了数位动态规划（数位DP）的实现方法，并给出了记忆化搜索的模板代码。同时，文章还讲解了一个关于数的余数的推广定理及其在求解过程中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3652

看了数位DP的记忆化搜索的模板，拿这个题来练手。

首先贴上数位dfs的模板：

int dfs(int len, int pre, bool legal, bool limit)  //已经处理到第len位（还有len位没有处理）、上一位的数字为pre、是否已经满足所要求的条件、该位是否被限制在0到digit[len]的范围内
{
	if (len == 0)
		return legal;
	if (!limit && dp[len][pre][legal])
		return dp[len][pre][legal];
	
	int Max = limit ? digit[len] : 9;
	int ans = 0;
	for (int i=0; i<=Max; i++)
		ans += dfs(len-1, i, legal?, limit&&(i==Max);  //接下来处理第len-1位，保留下来i，判断是否已经满足所要求的条件，下一位是否被限制
	
	if (!limit)
		dp[len][pre][legal] = ans;  //dp只保存不被限制的方案数
	return ans;
}

int calc(int n)  //计算0到n的范围内符合要求的数的个数
{
	int len = 0;
	
	while (n > 0)
	{
		digit[++len] = n % 10;
		n /= 10;
	}
	
	return dfs(len, 0, false, true);
}

其次要说的是有这么一个定理（其实我也不知道有没有这么一个定理，不过是正确的）：假如一个3位的10进制的数x，它的各位数从高位到低位分别为x1、x2、x3，那么 x % k = ((x1 % k * 10 + x2) % k* 10 + x3) % k，推广到n位数也一样。

设函数 int dfs(int len, int pre, int last, bool exist, int limit) 表示已经处理到第len位（还有len位没有处理）、上一位的数字为pre、到目前为止余数为last、是否已经出现“13”、对于当前位有没有限制的方案数，接下来就是套模板了。

#include<iostream>
using namespace std;

int dp[15][10][15][2];
int digit[15];

int dfs(int len, int pre, int last, bool exist, bool limit)
{
    if (len == 0)
        return last == 0 && exist;
    if (!limit && dp[len][pre][last][exist])
        return dp[len][pre][last][exist];

    int Max = limit ? digit[len] : 9;
    int ans = 0;
    for (int i=0; i<=Max; i++)
    {
        ans += dfs(len-1, i, (last*10+i)%13, exist||(pre==1 && i==3), limit&&(i==Max));
    }

    if (!limit)
        dp[len][pre][last][exist] = ans;
    return ans;
}

int calc(int n)
{
    int len = 0;

    while (n > 0)
    {
        digit[++len] = n % 10;
        n /= 10;
    }

    return dfs(len,0,0,false,true);
}

int main()
{
    int n;

    while (cin>>n)
    {
        cout<<calc(n)<<endl;
    }

    return 0;
}