Machine Learning第七讲[支持向量机] --（二）核函数

内容来自Andrew老师课程Machine Learning的第七章内容的Kernels部分。

一、Kernels I（核函数I）

在非线性函数中，假设函数为：

现在我们将表达式改变一下，将其写为：

联想到上次讲到的计算机视觉的例子，因为需要很多像素点，因此若f用这些高阶函数表示，则计算量将会很大，那么对于我们有没有更好的选择呢?

由此引入核函数的概念。

对于给定的x，

其中，similarity( )函数叫做核函数（kernel function），又叫高斯核函数，其实就是相似度函数，但我们平时写成。

这里将代入，则f1表达式为：

若，则

若x is far from，则 

下面的图形会给出比较直观的感受：

delta^2比较小，则图形比较陡峭；随着delta^2越来愈大，图形渐趋平稳。

在此基础上，看下面的例子：

对于紫色的点x，因为其距离比较近，距离，比较远，因此，theta值是已知的，将theta和f的值代入即可得到这个点的预测值。

对于蓝色的点，因为其距离，，都比较远，因此，代入即可得到预测值。

通过选取很多这样的x值，得到他们的预测值，得到边界，如图红色不规则封闭图形所示，在图形内部预测值为y=1，在图形外部的预测值y=0。

二、Kernels II（核函数II）

上面Kernels I内容中讲到了，那我们应该怎么样选出呢？

我们采取的方法是将每一个样本都作为一个标记点。

SVM with Kernels

给出，我们选择。

对于x，则有

有向量

其中。

对于训练样本，有

其中，，

且

于是，假设函数变成

其中，m为训练集的大小

带核函数的代价函数为：

注意：这里我们仍然不把θ0计算在内。

最小化这个函数，即可得到支持向量机的参数。

若涉及到一些优化问题，可以选择n=m。

另外，说明：

，其中，

另外，在实际应用中有人将其实现为下述公式，这是另一种略有区别的距离度量方法，这种方法可以适应超大的训练集：

因为若使用第一种方法，当m非常大时，求解很多参数将会成本非常高。

SVM参数以及方差、偏差的关系

c=1/λ，若参数C很大，即λ较小，则过拟合，低偏差，高方差

                若参数C很小，即λ较大，则前拟合，高偏差，低方差

       δ^2，若参数δ^2很大，则欠拟合，高偏差，低方差，f_i图形比较平稳

               若参数δ^2很小，则过拟合，低偏差，高方差，f_i图形比较陡峭

附上一题关于f_i参数的题目：