96. Unique Binary Search Trees

本文介绍了一种使用递推方法计算具有n个节点的独特二叉搜索树的数量的方法,并给出了详细的实现步骤及代码示例。

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  • 描述
    Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?
    For example,
    Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.
   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3
  • 思路

    这道题和LeetCode上面的95题几乎一样,但是这道题更加简单,因为只需要求解个数。这道题显然可以使用递归的思路去解决,但是可能递归算法的效率没有递推算法高。因此这里决定使用递推的方法。
    递推的思路可以这样去求解,n个数字的情况有这样几种情况:左边有n-1,右边为0个节点;左边有n-2个节点,右边有1个节点;左边有n-m个节点,右边有 m-1个节点,直到m=n,我们如果需要求n,就要先求出n-1等情况。因此我们可以先求出r=1时、然后就r=2,继续求r=3直到r=n。代码见下。

  • 代码(c#)
 public int NumTrees(int n)
        {
            if (n == 0) return 0;
            int[,] arr = new int[n + 1, n + 1];//使用二维数组记录已求解的情况个数
            arr[0, 0] = 1;//左右节点都没有,只有1中情况
            arr[1, 0] = 1;//只有一个右节点,1种情况
            arr[0, 1] = 1;//只有一个左节点,1种情况
            for (int i = 2; i <= n; i++)
            {
                for (int j = 0; j < i; j++)
                {
                    int result = 0;
                    if (j != 0 && (i - j - 1) != 0)
                    {
                        result = arr[j, 0] * arr[0, i - j - 1];//左右两边都有节点,那该节点共有左边*右边种情况
                    }
                    else
                    {
                        result = arr[j, i - j - 1];
                    }
                    arr[0, i] += result;//将所有的可能情况相加
                }
                arr[i, 0] = arr[0, i];//左边有i个节点情况=右边有i个节点的情况
            }
           return arr[0, n];
        }
### 如何使用二叉搜索树(BST)实现 A+B 操作 在 C 编程语言中,可以通过构建两个二叉搜索树(BST),分别表示集合 A 和 B 的元素,然后通过遍历其中一个 BST 并将其节点插入到另一个 BST 中来完成 A+B 操作。以下是详细的实现方法: #### 数据结构定义 首先需要定义一个简单的二叉搜索树节点的数据结构。 ```c typedef struct TreeNode { int value; struct TreeNode* left; struct TreeNode* right; } TreeNode; ``` #### 插入函数 为了向 BST 添加新元素,可以编写如下 `insert` 函数。 ```c TreeNode* createNode(int value) { TreeNode* newNode = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode)); newNode->value = value; newNode->left = NULL; newNode->right = NULL; return newNode; } void insert(TreeNode** root, int value) { if (*root == NULL) { *root = createNode(value); } else { if (value < (*root)->value) { insert(&((*root)->left), value); // Insert into the left subtree. } else if (value > (*root)->value) { insert(&((*root)->right), value); // Insert into the right subtree. } // If value == (*root)->value, do nothing since duplicates are not allowed in a set. } } ``` #### 合并操作 要执行 A+B 操作,即合并两棵 BST,可以从一棵树中提取所有元素并将它们逐个插入另一棵树中。 ```c // In-order traversal to extract elements from one tree and add them to another. void mergeTrees(TreeNode* sourceRoot, TreeNode** targetRoot) { if (sourceRoot != NULL) { mergeTrees(sourceRoot->left, targetRoot); // Traverse left subtree first. insert(targetRoot, sourceRoot->value); // Add current node's value to target tree. mergeTrees(sourceRoot->right, targetRoot); // Then traverse right subtree. } } ``` #### 主程序逻辑 假设我们已经初始化了两棵 BST 表示集合 A 和 B,则可以通过调用上述函数完成 A+B 操作。 ```c int main() { TreeNode* treeA = NULL; TreeNode* treeB = NULL; // Example: Adding values to Tree A. int arrayA[] = {5, 3, 7, 2, 4}; for (size_t i = 0; i < sizeof(arrayA)/sizeof(arrayA[0]); ++i) { insert(&treeA, arrayA[i]); } // Example: Adding values to Tree B. int arrayB[] = {6, 8, 1}; for (size_t i = 0; i < sizeof(arrayB)/sizeof(arrayB[0]); ++i) { insert(&treeB, arrayB[i]); } // Perform A + B by merging all nodes of treeB into treeA. mergeTrees(treeB, &treeA); // Now treeA contains all unique elements from both sets. return 0; } ``` 此代码片段展示了如何利用二叉搜索树的性质高效地进行集合并集运算[^1]。
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