Lostgreen的博客

背包类型物品限制遍历顺序时间复杂度0-1背包每个物品选1次逆序O(NV)完全背包物品无限正序O(NV)多重背包物品选s[i]次二进制拆分优化O(NVlogS)分组背包每组选一个物品组外逆序O(KV*M)

容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）是组合数学中一个非常重要的工具，用于计算多个集合的并集大小。它的核心思想是通过“加加减减”的方式，避免重复计数，从而准确地求出多个集合的并集大小。本文将从3个元素的容斥原理出发，逐步推导出n个元素的容斥原理公式，并给出直观的解释。

在数论和计算机科学中，线性同余方程和中国剩余定理是两个非常重要的概念，它们不仅在理论上具有深刻的意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用，例如密码学、计算机代数系统、编码理论等领域。本文将深入浅出地讲解线性同余方程和中国剩余定理的数学原理，并介绍相关的求解算法。线性同余方程是指形如以下形式的方程：其中，, , 是已知整数， 是未知整数， 表示模 运算。该方程的含义是：存在一个整数 ，使得 。线性同余方程的解的性质取决于 , , 之间的关系：求解线性同余方程的常用方法是扩展欧几里得算法。该算法不仅可以求

欧拉函数（Euler’s Totient Function），记作ϕn，是数论中的一个重要函数，用于计算小于或等于正整数n且与n互质的正整数的个数。换句话说，欧拉函数ϕn给出了在1到n之间与n互质的整数的数量。

本文介绍了乘法逆元相关的数论知识，并结合代码，介绍了扩展欧几里得算法。

通过本文的介绍，读者可以掌握约数相关算法的原理和步骤。希望本文能够帮助读者深入理解约数及其应用。如果你对约数或其他数论算法有更多疑问，欢迎在评论区留言讨论！

通过本文的介绍，读者可以掌握质数相关算法的原理、实现方法以及应用场景。希望本文能够帮助读者深入理解质数及其相关算法。如果对质数或其他数论算法有更多疑问，欢迎在评论区留言讨论！

染色法：用于判定图是否为二分图，时间复杂度为OVEO(V + E)OVE。匈牙利算法：用于求解二分图的最大匹配，时间复杂度为OV×EOV×E。通过本文的介绍，读者可以掌握二分图的基本概念、染色法判定二分图的原理、匈牙利算法进行二分图匹配的原理与实现。希望本文能够帮助读者深入理解二分图及其应用。

给定一个有向无环图GVEG = (V, E)GVE，拓扑排序是将图中所有顶点排成一个线性序列，使得对于每一条有向边uv(u, v)uv，顶点uuu在顶点vvv之前。拓扑排序是解决有向无环图中依赖关系问题的有效算法。通过本文的介绍，读者可以掌握拓扑排序的定义、原理、实现方法以及应用场景。结合代码实现和题目讲解，希望读者能够深入理解拓扑排序，并在实际问题中灵活运用。如果你对拓扑排序或其他图论算法有更多疑问，欢迎在评论区留言讨论！

重心是指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个节点被称为树的重心。

本文将详细介绍Kruskal算法的背景、理论推导、正确性证明，并与Prim算法进行对比，帮助读者深入理解这两种算法的核心思想及其适用场景。Kruskal算法是一种高效且直观的最小生成树算法，其贪心选择性质保证了算法的正确性。与Prim算法相比，Kruskal算法更适合边数较少的场景，而Prim算法更适合顶点数较少的场景。Kruskal算法是一种贪心算法，用于在加权连通图中找到最小生成树。Kruskal算法的核心在于其贪心选择性质：每次选择当前最优的边（即最小权重的边）加入生成树，并确保不形成环。

Prim算法是一种高效且直观的最小生成树算法，其贪心选择性质保证了算法的正确性。通过优先队列的优化，Prim算法的时间复杂度可以进一步降低，适用于大规模图的处理。理解Prim算法的核心思想和实现细节，不仅有助于解决实际问题，也为学习其他图论算法奠定了坚实的基础。其基本思想是从一个顶点开始，逐步扩展生成树，每次选择一条连接生成树和非生成树顶点的最小权重边，直到所有顶点都被包含在生成树中。Prim算法的核心在于其贪心选择性质：每次选择当前最优的边（即最小权重的边）加入生成树。是最小生成树的一部分。

介绍spfa算法求解最短路和判断负环的思路

详细介绍Bellman-Ford算法，并解释其检测负环的原理

FloydFloydFloyd算法是一种用于求解多源最短路径问题的动态规划算法，由RobertWFloydRobertWFloyd于196219621962年提出。它能够计算图中任意两点之间的最短路径，适用于带权有向图或无向图，且可以处理负权边（但不能处理负权环）。Floyd算法是解决多源最短路径问题的经典算法，适用于中小规模的图。通过动态规划的思想和三重循环的实现，它能够高效地计算任意两点之间的最短路径。

Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的经典算法，由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出。它适用于带权有向图或无向图，且权重必须为非负数。Dijkstra算法是图论中最基础且重要的算法之一。通过本文的代码实现和详细解析，读者可以深入理解其工作原理，并掌握如何在实际问题中应用该算法。无论是学术研究还是工程实践，Dijkstra算法都是不可或缺的工具。通过不断学习和实践，我们可以在算法的世界中走得更远！

双向BFS通过巧妙的双向夹逼策略，在八数码问题中展现了惊人的效率。这种算法思想启示我们：当面对复杂问题时，换个角度思考，往往能找到突破困境的新路径。正如计算机科学大师Dijkstra所说：“问题的解决往往不在于更强的算力，而在于更聪明的策略。

通过走迷宫问题，我们不仅掌握了BFS的精髓，更体会到算法设计中"简单与高效"的完美统一。从古老的迷宫谜题到现代的网络路由，BFS算法始终闪耀着智慧的光芒。当您下次面对复杂问题时，不妨想想这个简单的队列，它或许就是打开问题之门的钥匙。思考题：如何修改算法使其可以输出具体的最短路径？tips:试着维护一个ppp数组，记录每一个走过的节点的父节点试试呢）

想象你面前有一张8∗88 * 88∗8的国际象棋棋盘，现在需要摆放888个皇后，使得任意两个皇后都无法互相攻击。这个看似简单的谜题，自184818481848年被提出以来吸引了无数数学家与计算机科学家的目光。当我们把棋盘扩展到N∗NN*NN∗N规格时，就诞生了著名的N皇后问题。本文将带您通过这个经典问题，深入理解深度优先搜索（DFS）这一重要的算法思想。深度优先搜索（Depth-First Search）采用"不撞南墙不回头"的策略，其运行过程就像探险者深入洞穴：1.3 算法特性分析时间复杂度：O(b

KMP算法是一种用于在文本串中查找模式串的高效算法。它的核心在于利用模式串的部分匹配表（也称为next数组或ne数组），在匹配失败时跳过不必要的比较，从而减少匹配次数。关于KMP与朴素字符串匹配算法的区别可以参照下图感受一下。nextnext[i]表示模式串p中，从第1个字符到第i个字符组成的子串（即p[1...i]）的最长相同前缀和后缀的长度。前缀是指从第1个字符开始的子串，后缀是指以第i个字符结尾的子串。next。

Trie树是一种树形数据结构，通常用于处理字符串。它的每个节点代表一个字符，从根节点到某个节点的路径表示一个字符串的前缀。Trie树的一个重要特性是，具有相同前缀的字符串会共享路径上的节点，这使得它在处理大量字符串时非常高效。Trie树是一种非常强大的数据结构，特别适合处理字符串的存储和查询。通过共享字符串的公共前缀，Trie树能够显著减少存储空间，并且在查询时具有极高的效率。

哈希表（Hash Table）是一种高效的数据结构，用于存储键值对（Key-Value Pairs）。它通过哈希函数（Hash Function）将键（Key）映射到一个固定大小的数组（称为散列表）中的某个位置，从而实现快速的插入、查找和删除操作。哈希表的核心思想是通过哈希函数将键转换为数组的索引，从而直接访问对应的值。理想情况下，哈希表的插入、查找和删除操作的时间复杂度都是O(1)。哈希表是一种高效的数据结构，通过哈希函数将键映射到数组索引，从而实现快速的插入、查找和删除操作。

堆（Heap）是一种特殊的树形数据结构，通常用于实现优先队列。最大堆（Max Heap）：每个节点的值都大于或等于其子节点的值。最小堆（Min Heap）：每个节点的值都小于或等于其子节点的值。堆通常是一个完全二叉树，这意味着除了最后一层，其他层都是完全填满的，并且最后一层的节点都尽可能地靠左排列。堆是一种非常高效的数据结构，特别适用于需要频繁获取最大或最小元素的场景。通过数组实现堆，可以充分利用其完全二叉树的性质，使得插入、删除和构建堆的操作都能在 O(log n) 的时间内完成。

扩展域并查集通过拆分域来表示复杂关系，逻辑直观且易于理解。虽然空间开销较大，但在处理复杂关系问题时非常高效。带权并查集通过维护权值来表示节点之间的关系，路径压缩和权值更新确保了高效的关系推导。虽然逻辑稍复杂，但代码简洁且高效，适合处理类似食物链的问题。