12、探索性相关性分析：从双数据流中提取共享高阶结构

探索性相关性分析：从双数据流中提取共享高阶结构

1. 引言

在现代数据分析中，探索性相关性分析（Exploratory Correlation Analysis, ECA）作为一种新兴技术，旨在从两个数据流中提取共享的高阶结构。ECA不仅能揭示数据流之间的复杂关系，还能在一定程度上忽略单一数据流中的高阶结构，从而提供更精确的分析结果。本文将详细介绍ECA的原理、应用及其与典型相关分析（Canonical Correlation Analysis, CCA）的联系。

2. ECA的原理

ECA的理论基础来源于神经算法，特别是基于赫布学习规则（Hebbian Learning Rule）的负反馈网络。该方法通过引入非线性函数来搜索数据流之间的高阶相关性，而不仅仅是传统的线性相关性。具体来说，ECA通过最大化两个数据流投影之间的非高斯性来识别共享的高阶结构。

2.1 数学模型

假设我们有两个数据流 ( x_1 ) 和 ( x_2 )，以及两个对应的投影数据 ( y_1 ) 和 ( y_2 )，基向量分别为矩阵 ( W ) 和 ( V ) 的行。ECA的目标函数可以表示为：

[ J(W, V) = E(g(W^T x_1)^T g(V^T x_2)) + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \lambda_{ij}(w_i^T w_j - a_{ij}) + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \mu_{ij}(v_i^T v_j - b_{ij}) ]

其中，( g(\cdot) ) 是一个非线性函数，(