矩阵之LU分解

最新推荐文章于 2024-02-04 23:36:17 发布

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#矩阵 LU分解

这篇博客介绍了矩阵的LU分解，它是高斯消元法的一种表达形式，常用于求解线性方程组。文章阐述了杜尔里特算法（Doolittle algorithm）如何将矩阵转化为上三角矩阵，并通过单位下三角矩阵L表示初等行变换。虽然在解决单个非齐次方程组时LU分解并不优于高斯消去法，但在处理类似方程组时，它能有效减少计算时间。博主参考了<Matrix Analysis and Applied Linear Algebra>一书，并提供了MATLAB实现代码。

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最近学习了矩阵的LU分解，LU分解是一种矩阵求费其次方程的算法，在matlab中通过矩阵求逆的方式（inv语句）就可以实现，求逆过程中，一般是通过高斯消去法进行求逆，算法复杂度n^3/2,而在其他语言中，一般求解废弃次方程组是需要自己进行编写的（或者从网上download一个程序~，因此编一个有效的解法可以大大降低程序的运行时间。

LU分解在本质上是高斯消元法的一种表达形式。实质上是将A通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。这正是所谓的杜尔里特算法（Doolittle algorithm）：从下至上地对矩阵A做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L矩阵，它也是一个单位下三角矩阵。一般来说，如果LU分解只是为了单纯求一个非齐次方程组，则没有任何优势可言，算法复杂度还要高于普通的高斯消去法，但是如果想要求解具有一些结果扰动的方程，即AX=b，b有很多情况，但这些情况只是细微的不同，此时，LU分解则在算法复杂度上具有一定的优势。该算法主要参照了Carl D.Meyer的<Matrix Analysis and Applied Linear Algebra>一书。matlab编写。

代码如下：

%Programed by Lu Qi,University of Chinese Academy of Sciences
%my email:qqlu1992@gmail.com
clear all
clc
A=[1 2 -3 4;4 8 12 -8;2 3 2 1;-3 -1 1 -4];
b=[3 60 1 5]';
[row colum]=size(A);
L=zeros(row);
U=zeros(row);
P_matrix=zeros(row);
P=[1:colum]';
for i=1:row
   [max_data index]=max(abs(A(i:row,i)));  %判断某列最大数的位置
   max_data=A(index+i-1,i);
   if index~=i