蓝桥杯2022年第十三届省赛真题-统计子矩阵

题目描述

给定一个 N × M 的矩阵 A，请你统计有多少个子矩阵 (最小 1 × 1，最大 N × M) 满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 K?

输入格式

第一行包含三个整数 N, M 和 K.

之后 N 行每行包含 M 个整数，代表矩阵 A.

输出格式

一个整数代表答案。

样例输入

3 4 10

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

样例输出

19

提示

满足条件的子矩阵一共有 19，包含：

大小为 1 × 1 的有 10 个。

大小为 1 × 2 的有 3 个。

大小为 1 × 3 的有 2 个。

大小为 1 × 4 的有 1 个。

大小为 2 × 1 的有 3 个。

对于 30% 的数据，N, M ≤ 20. 对于 70% 的数据，N, M ≤ 100.

对于 100% 的数据，1 ≤ N, M ≤ 500; 0 ≤ Ai j ≤ 1000; 1 ≤ K ≤ 250000000.

方法（参考罗老师讲解）

重点了解前缀法和尺取法

二位前缀法

尺取法

代码

n,m,k = map(int,input().split())
li = [[0 for i in range(m+1)]]
for i in range(n):
    a = [0,*list(map(int,input().split()))]
    li.append(a)
# print(li) # 上面这些操作主要是让li从[1][1]开始
s = [[0]*(m+1) for b in range(n+1)]
# print(s)
for i in range(1,n+1):
    for j in range(1,m+1):
        s[i][j]=s[i-1][j]+li[i][j] # 纵向相加
ans = 0
for i1 in range(1,n+1):
    for i2 in range(i1,n+1):
        j1=1;z=0
        for j2 in range(1,m+1):
            z+=(s[i2][j2]-s[i1-1][j2]) # 使用尺取法，因为刚才s算的是对每行求和，所以这里z是计算（i1，j1）到（i2，j2）的区间和
            while z>k:# 若区间和不符合那么所有的子集也肯定不符合要求
                z-=s[i2][j1]-s[i1-1][j1]
                j1+=1 # 继续遍历下一个区间
            ans +=(j2-j1+1)
print(ans)