Codeforces Round #777 D. Madoka and the Best School in Russia

原创已于 2022-12-30 10:38:23 修改 · 231 阅读

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#c++

于 2022-03-12 10:31:08 首次发布

本文探讨了如何根据d和a的性质（如质数、合数和指数关系）来确定一个含有多个d的数x能否分解成两个漂亮数的乘积。关键发现包括d等于a的平方时的特殊情况和d为合数时的分解限制。通过实例和代码证明，得出了关于质数和合数d条件下x分解形式的结论。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

思路：

x里如果只有一个d，x只能被表示为d*a（d*a是一个漂亮数），找不到第二种符合条件的形式了。

x里如果有2个d，尝试把x表示成 d（一个漂亮数）* d*a（另一个漂亮数），是否还有第二种取决于a是合数还是质数，如果a是质数就没有了。若是合数肯定有，因为你可以把a分成两个数b，c ，然后把x表示为d*b（一个漂亮数） * d*c （另一个漂亮数）

x里如果有3个d，尝试把x表示成 d * d * (d*a) 同上面的情况，a如果是合数则肯定有。不同于上面的是，a如果是质数是有可能有另一种形式的，我们可以尝试把（d*a）分成两个b，c然后把x表示为d*b（一个漂亮数） * d*c （另一个漂亮数）

如果d也是质数，很显然是分不出来能使得d*b 是一个漂亮数 d*c 是另一个漂亮数的b，c

现在的问题是，如果d是合数，能不能分出符合条件的两个b，c，通过 128 4 这个样例我们可以察觉到好像当d==a*a的时候是不能分出来的，现在就缺严谨的证明了

当d==a*a，d*a也就是 a^3，要分成两个都拿不出 a^2 的数是不可能的，

一共两种分法 a a^2，1 a^3 这两种分法都至少有一个数拿得出a^2 .

已经证明了d==a*a是不行的，那剩下的情况是不是一定可以呢？

如果d只有a这一个质因子，d==a^n（n>=3）d*a就可以分成 a^2 和 a^(n-1) 这两个数都拿不出d

现在看d存在非a的质因子的情况，为了叙述的方便，我们把d中非a的质因子记为e

d*a就可以分解成 e 和 d*a/e

e肯定拿不出d咯，d*a/e 要想拿出来d，只能让a==e了，这与我们的前提条件：e是d中非a的质因子矛盾，所以是拿不出d的

至此，我们严谨的证明出了：当a是质数，d是合数，只有在d==a*a时，不能把d*a分成两个我们想要的b，c.

再看看当x里有4个d，同样的，如果a，d都是质数肯定不行。a是合数肯定行，那a是质数，d是合数的情况呢？

上面已经证明过了：当a是质数，d是合数，只有在d==a*a时，不能把d*a分成两个我们想要的b，c. 所以只要d！=a*a，我们就可以找到第二种形式

但你要知道，这里有4个d了，这就意味着我们可以把d*a分成三个拿不出d的数

再来看看d==a*a，d*a就是a^3 我们可以把它分成3个a 就可以把 x表示为 d*a * d*a * d*a 这3个漂亮数相乘

所以，在x里有4个d时，a是质数，d是合数的情况下一定可以找到第二种形式

虽然我写的十分冗长，但还是很严谨的，重要的还是自己思考

AC代码

#include<iostream>
#include<string>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const int mod=12345;
const int maxn=1e6+10;
bool is_prime(int x)
{
    for(int i=2;i<=x/i;i++)
    {
        if(x%i==0) return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        int x,d;
        cin>>x>>d;
        int cnt=0;
        while(x%d==0){
            cnt++;
            x/=d;
        }
        if(cnt==1) cout<<"NO"<<endl;
        else if(cnt==2)
        {
            if(!is_prime(x)) cout<<"YES"<<endl;
            else cout<<"NO"<<endl;
        }
        else
        {
            if(is_prime(x)&&(is_prime(d)||(cnt==3&&d==x*x))) cout<<"NO"<<endl;
            else 
            {
                cout<<"YES"<<endl;
            }
        }
    }
}