组合博弈入门

简单描述

组合博弈定义
①有两个玩家
②游戏的操作状态是一个有限集合（比如：限定的总的牌的数量
③游戏双方轮流操作
④双方每次操作符合游戏规定（按规定取牌数量取牌
⑤当一方不能继续进行的时候，游戏结束，同时，对方为获胜方
⑥无论如何操作，游戏总能在有限次数操作后结束

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必败点、必胜点

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定义：

必败点（P点）：前一个选手（Previous player）将取胜的位置称为必败点（即将要在这个点操作的玩家，一定会输）

必胜点（N点）：下一个选手（Next player）将取胜的位置称为必胜点（在必胜点的玩家不一定赢，是要在不犯错误的情况下，整个游戏才会赢）

属性：

一、所有终结点是必败点（P点）；（终结点有限且易标记）
（终结状态：是游戏进行不下去的点；而必败点是游戏可能还能进行下去，改变不了要输的命运）
举个例子：每次取牌规则是两张或三张；则终结点为 剩0张 或 剩1张
所以：必败点不一定是终结点，但终结点一定是必败点

二、从任何必胜点（N点）操作，至少有一种方式可以进入必败点（P点）；
因为必胜点不一定怎么走都赢，一定至少一种方式进入必败点
举个例子：剩三张牌，取牌规则（1，2，3），若取了两张或一张，一定是对方赢自己输

Nim游戏

游戏简介：
①有两个玩家
②有三堆扑克牌（比如;5,7,9
③游戏双方轮流操作
④玩家每次操作是选择其中某一堆牌，然后从中取走任意张
⑤最后一次取牌的一方为获胜方

由题引入：
Nim-Sum：按位的异或运算

SG函数的含义以及实现

sg函数的定义：
X节点的sg值是除去后继点的sg值得最小非负整数。

sg函数的使用：
必败点：节点sg值等于0
必胜点：节点sg值大于0

解决的问题：组合游戏

引入定理：
如果图游戏G有若干个子图游戏Gi组成，即：G=G1+G2+···+Gn，假设gi是Gi（i=1，，，n）的SG函数值，那么，图游戏的SG值计算如下：
g（x1···xn）=g1（x1）^···gn（xn）

例
多个组合游戏的并
给定若干个组合游戏，可以按照下面的规则将它们并成一个新的游戏。
l 对每个游戏给定初始状态。
l 两人轮流走步，从A开始。
l 每一轮，选择一个未到达终止状态的游戏，在这个游戏中按照规则走一步，其他游戏的状态不变。
l 最后一个走步者获胜，即走完之后所有游戏都到达终止状态。
我们称这个新的游戏为“多个组合游戏的并”。我们要来看如何用每一个游戏的SG函数来求这个新的组合游戏的SG函数。
g（x1···xn）=g1（x1）^···gn（xn）

简单例题

题述

题目大意

有n堆苹果，每堆有mi个
两人轮流取，每次可以从一堆苹果中取任意连续个苹果
最后取光者为输
Fra先下，问是否可以获胜

输入输出

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<cstdio>
#include<map>
//#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m,a,sum,i;
    while(cin>>n)
    {
        m=0;//判断是否是孤单堆
        sum=0;
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            cin>>a;
            if(a>1)//如果a=1即是孤单堆
            m=1;
            sum^=a;
        }
        if(m==0)
        {
            if(n%2==0)
            cout<<"Yes"<<endl;
            else
            cout<<"No"<<endl;
        }
        else
        {
            if(sum==0)
            cout<<"No"<<endl;//等于0，后手必胜
            else
            cout<<"Yes"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

所以我们只要判断孤单堆和富裕堆然后用尼姆博弈公式（nimm game)即可