八大排序算法和时间复杂度

原创 已于 2022-08-29 19:30:52 修改 · 571 阅读 · 2 ·
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#排序算法 #算法 #java

于 2022-08-29 14:50:40 首次发布

时间复杂度一套图 搞懂“时间复杂度”_12 26 25的博客-优快云博客_时间复杂度

排序代码 数据结构和算法Java实现（韩顺平）_看向未来213的博客-优快云博客

冒泡排序

         冒泡排序是一种简单的排序算法。它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢"浮"到数列的顶端。

        比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换它们两个；对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对，这样在最后的元素应该会是最大的数；针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个；重复以上步骤，直到排序完成。

两两相比，错位则交换。每次找出一个最大值。双层for循环，时间复杂度为O(n2)

 

 

选择排序

        首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕.

找一个数，设其为最小值，依次跟其他数比较，找到比设定的最小值更小的数，将其设为最小值，一轮比较结束后，将最小值设置到外层for循环记录的位置上。

两层for循环，时间复杂度为O(n2)

 

 

插入排序

        通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。

将第一个数看成一个有序队列，剩下的数看成一个无序队列，从无序队列中取出一个数（设为 t ），将其值和下标都保存在一个变量中，将这个数根据从后往前的顺序，在有序队列中寻找自己的位置。如果 t 大于有序队列中的数，则该位置就是 t 的位置。如果 t 小于有序队列中的数（设为 x ），x 后移一位。下标前移，再次比较。

两层for循环，时间复杂度为O(n2)

 

 

 希尔排序

前面的几个排序都是依次相邻的数，进行比较。希尔排序就不是这样，他是横跨几个元素进行比较，就假设有6个数，第一轮，第一个数和第四个数比较，第二个数和底五个数进行比较，第三个数和第六个数比较，跨度为三，按从小到大的顺序排序。第二轮，将跨度除2，跨度为1，即两两比较。

在两个数交换时，不要临时创建变量，大数据量的情况下，浪费大量资源

我们下面选择的增量序列{n/2,(n/2)/2...1}(希尔增量)，其最坏时间复杂度依然为O(n2)，一些经过优化的增量序列如Hibbard经过复杂证明可使得最坏时间复杂度为O(n3/2)。

 

 快速排序

在数组中，拿第一个数，设置为temp。temp右边的下标设置为x，数组末端的下标设置为y。

移动y，与temp上的值比较，找到一个小于temp的下标，取代x的位置。

移动x，与temp上的值比较，找到一个大于temp的下标，取代y下标的值

在不超过下标的前提下，循环执行

当x==y时，找到了temp的正确位置。再递归temp的两边。

 归并排序

 

 

 

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1.冒泡排序 冒泡排序的基本原理 对存放原始数组的数据，按照从前往后的方向进行多次扫描，每次扫描都称为一趟。当发现相邻两个数据的大小次序不符合时，即将这两个数据进行互换，如果从小大小排序，这时较小的数据就会逐个往前移动，好像气泡网上漂浮一样。 冒泡排序的特点： 升序排序当中每一轮比较会把最大的数沉到最底(这里以从小到大为例)，所有相互比较的次数每一轮会比前一轮少一次。 冒泡排序的时间复杂度：O（n^2） O(N)和真实的计算时间成正比 从前到后执行一轮要n次，O(N) N指的是数据的规模.
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八大排序算法的时间复杂度与稳定性
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<think> 我们被要求回答八大排序算法的时间复杂度与稳定性问题。首先，我们需要明确八大排序算法通常指的是：冒泡排序、选择排序、插入排序、希尔排序、归并排序、快速排序、堆排序和基数排序。 接下来，我们将逐一列出每种排序算法的时间复杂度和稳定性，并尽可能给出简要说明。 注意：稳定性是指如果两个相等的元素在排序前后的相对位置不变，则该排序算法是稳定的。 1. 冒泡排序（Bubble Sort） - 时间复杂度： - 最好情况（已有序）：$O(n)$ - 最坏情况（逆序）：$O(n^2)$ - 平均情况：$O(n^2)$ - 稳定性：稳定。因为相邻元素比较交换，相等元素不会交换。 2. 选择排序（Selection Sort） - 时间复杂度： - 最好、最坏、平均情况均为$O(n^2)$（因为每次都要遍历未排序部分找最小/最大） - 稳定性：不稳定。例如序列[5, 5, 2]，第一次选择最小元素2和第一个5交换，导致两个5的相对位置改变。 3. 插入排序（Insertion Sort） - 时间复杂度： - 最好情况（已有序）：$O(n)$ - 最坏情况（逆序）：$O(n^2)$ - 平均情况：$O(n^2)$ - 稳定性：稳定。每次将元素插入到已排序序列的适当位置，遇到相等元素则插入在后面，相对位置不变。 4. 希尔排序（Shell Sort） - 时间复杂度：与增量序列的选择有关，最坏情况为$O(n^2)$，好的增量序列如Hibbard可以使最坏情况达到$O(n^{3/2})$，平均情况则根据增量序列不同而不同，一般在$O(n^{1.3})$到$O(n^2)$之间。 - 稳定性：不稳定。因为分组插入排序可能导致相等元素跨越交换。 5. 归并排序（Merge Sort） - 时间复杂度：最好、最坏、平均情况均为$O(n \log n)$ - 稳定性：稳定。归并时遇到相等元素，优先取前面的子序列中的元素。 6. 快速排序（Quick Sort） - 时间复杂度： - 最好情况（每次划分均衡）：$O(n \log n)$ - 最坏情况（每次划分极不均衡，如已有序）：$O(n^2)$ - 平均情况：$O(n \log n)$ - 稳定性：不稳定。因为partition过程中，相等的元素可能因为交换而改变相对位置。例如[3, 2, 2, 4]，以3为基准，后面的2可能与前面的2交换位置（取决于具体实现）。 7. 堆排序（Heap Sort） - 时间复杂度：建堆$O(n)$，调整堆$O(n \log n)$，所以整体为$O(n \log n)$（最好、最坏、平均）。 - 稳定性：不稳定。堆调整过程中，父节点和子节点的交换可能破坏相等元素的相对位置。例如[5, 5, 5]，在堆调整过程中，第一个5与最后一个5交换，导致相对位置改变。 8. 基数排序（Radix Sort） - 时间复杂度：$O(d(n+k))$，其中d是最大数字的位数，k是基数（每一位的取值范围）。通常k较小（如0-9），所以近似线性。 - 稳定性：稳定。基数排序按位排序时，必须使用稳定的排序算法（通常用计数排序），所以整体稳定。 注意：基数排序不是基于比较的排序，因此它的时间复杂度可以突破$O(n\log n)$。 我们将以上信息整理成表格如下： | 排序算法 | 平均时间复杂度 | 最好情况 | 最坏情况 | 空间复杂度 | 稳定性 | |------------|----------------|---------------|---------------|-------------|--------| | 冒泡排序 | $O(n^2)$ | $O(n)$ | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 稳定 | | 选择排序 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 不稳定 | | 插入排序 | $O(n^2)$ | $O(n)$ | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 稳定 | | 希尔排序 | $O(n^{1.3})$左右 | $O(n)$ | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 不稳定 | | 归并排序 | $O(n \log n)$ | $O(n \log n)$ | $O(n \log n)$ | $O(n)$ | 稳定 | | 快速排序 | $O(n \log n)$ | $O(n \log n)$ | $O(n^2)$ | $O(\log n)$ | 不稳定 | | 堆排序 | $O(n \log n)$ | $O(n \log n)$ | $O(n \log n)$ | $O(1)$ | 不稳定 | | 基数排序 | $O(d(n+k))$ | $O(d(n+k))$ | $O(d(n+k))$ | $O(n+k)$ | 稳定 | 注意：希尔排序的时间复杂度与增量序列的选择密切相关，上述平均时间复杂度是一个经验值，没有统一结论。 最后，根据用户要求，我们生成相关问题。 </think> ### 八大排序算法时间复杂度与稳定性对比 以下是主要排序算法的时间复杂度和稳定性分析总结表： | 排序算法 | 平均时间复杂度 | 最佳时间复杂度 | 最差时间复杂度 | 空间复杂度 | 稳定性 | 说明 | |--------------|----------------|----------------|----------------|------------|--------|------| | **冒泡排序** | $O(n^2)$ | $O(n)$ | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 稳定✅ | 相邻元素比较交换 | | **选择排序** | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 不稳定❌ | 最小元素交换到前面 | | **插入排序** | $O(n^2)$ | $O(n)$ | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 稳定✅ | 构建有序序列 | | **希尔排序** | $O(n^{1.3})$ | $O(n\log n)$ | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 不稳定❌ | 分组插入排序 | | **归并排序** | $O(n\log n)$ | $O(n\log n)$ | $O(n\log n)$ | $O(n)$ | 稳定✅ | 分治法 | | **快速排序** | $O(n\log n)$ | $O(n\log n)$ | $O(n^2)$ | $O(\log n)$| 不稳定❌ | 基准元素分区 | | **堆排序** | $O(n\log n)$ | $O(n\log n)$ | $O(n\log n)$ | $O(1)$ | 不稳定❌ | 二叉堆结构 | | **基数排序** | $O(d(n+k))$ | $O(d(n+k))$ | $O(d(n+k))$ | $O(n+k)$ | 稳定✅ | 按位分配收集 | #### 关键说明： 1. **稳定性定义**： 排序后相等元素的相对位置保持不变即为稳定排序。例如： ```python # 原始序列 [(5,A), (3,B), (5,C)] ``` 稳定排序后：`[(3,B), (5,A), (5,C)]`（5的相对位置不变）[^1] 2. **时间复杂度对比**： - 平方级：冒泡/选择/插入排序 - 线性对数级：归并/快速/堆排序 - 线性级：基数排序（$d$为最大位数） 3. **稳定性规律**： - 相邻元素比较的排序通常稳定（冒泡、插入） - 元素跳跃交换的排序通常不稳定（选择、希尔、堆） - 分治法排序取决于实现（归并稳定，快排不稳定） #### 快速排序示例（不稳定） ```python def quick_sort(arr): if len(arr) <= 1: return arr pivot = arr[0] # 相等元素可能被分到不同分区 left = [x for x in arr[1:] if x <= pivot] right = [x for x in arr[1:] if x > pivot] return quick_sort(left) + [pivot] + quick_sort(right) ``` #### 归并排序示例（稳定） ```python def merge(left, right): result = [] i = j = 0 while i < len(left) and j < len(right): # 相等时优先取左序列元素 if left[i] <= right[j]: result.append(left[i]) i += 1 else: result.append(right[j]) j += 1 result.extend(left[i:]) result.extend(right[j:]) return result ``` > 注：某些算法在不同实现下可能改变稳定性，如将快速排序的`<=`改为`<`可变为稳定，但会牺牲效率[^1]。
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