数据结构之堆

堆的介绍(heap)

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。
• 堆总是一棵完全二叉树。
  完全二叉树就是除最后一行外，其余每个节点都有两个孩子。
  
  图片来源https://www.runoob.com/data-structures/heap-storage.html

小根堆

其父节点比两个孩子结点都小，大根堆则相反，上图显示的就是大根堆；

存储：

采用一维数组，对于某一个父节点x，其左儿子为2x,右儿子为2x+1，从下标1开始。

操作：

1.插入，即插入一个数

heap[++Size]=x;
up(Size);

2.集合当中的最小值
因为是小根堆，所以由定义可知最小值就是根。

heap[1];

3.删除最小值
采用的方式：最后一个元素覆盖第一个元素，然后总数减一；

heap[1]=heap[Size];
Size--;
down(1);

4.删除任意一个元素
同样采用尾元素覆盖的方法；

heap[k]=heap[Size];
Size--;
down(k);
up(k);

5.修改任意一个元素

heap[k]=x;
down(k);
up(k);

下面以一个具体的例子来看：

原题链接：堆排序

题目描述

输入一个长度为 n 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

输出格式

共一行，包含 m 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。

数据范围

1≤m≤n≤105，
1≤数列中元素≤109
输入样例：

5 3
4 5 1 3 2

输出样例：

1 2 3

代码实现：

#include<iostream>

using namespace std;

const int N=1e5+100;
int n,m;
int h[N],a[N],Size;

void down(int u)
{
    //小根堆
    int t=u;
    if(2*u<=Size&&h[2*u]<h[t]) t=2*u;
    if(2*u+1<=Size&&h[2*u+1]<h[t]) t=2*u+1;
    if(u!=t)
    {
        swap(h[t],h[u]);
        down(t);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&h[i]);
    Size=n;
    //从n/2开始，是因为二叉树的性质
    for(int i=n/2;i;i--) down(i);
    while(m--)
    {
        printf("%d ",h[1]);
        h[1]=h[Size];
        Size--;
        down(1);
    }
    return 0;
}

总结：
1.小根堆对于元素的排序效率更高；
2.小根堆也就是STL中的优先队列；
3.原理实现方式值得仔细分析。