《代码随想录-精华内容提取》08 回溯算法

回溯算法核心要点解析

最新推荐文章于 2025-12-04 16:02:12 发布

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1.回溯算法理论基础

回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。

在二叉树系列中，我们已经不止一次，提到了回溯，例如二叉树：以为使用了递归，其实还隐藏着回溯 (opens new window)。

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

回溯法解决的问题

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等

如何理解回溯法

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构，是的，我指的是所有回溯法的问题都可以抽象为树形结构！

因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度就构成了树的深度。

递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

详细内容请见：回溯算法理论基础 | 代码随想录

2.组合问题

把组合问题抽象为如下树形结构：

77.组合

图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。

那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？

图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

回溯法三部曲

递归函数的返回值以及参数

在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。

代码如下：

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果

其实不定义这两个全局变量也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。

函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k个数，那么n和k是两个int型的参数。

然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。

为什么要有这个startIndex呢？

建议在77.组合视频讲解 (opens new window)中，07:36的时候开始听，startIndex 就是防止出现重复的组合。

从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。

77.组合2

所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。

那么整体代码如下：

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex)

回溯函数终止条件

什么时候到达所谓的叶子节点了呢？

path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。

如图红色部分：

77.组合3

此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。

所以终止条件代码如下：

if (path.size() == k) {
    result.push_back(path);
    return;
}

单层搜索的过程

回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。

77.组合1

如此我们才遍历完图中的这棵树。

for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。

代码如下：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
    path.push_back(i); // 处理节点
    backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
    path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}

可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。

backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。

关键地方都讲完了，组合问题C++完整代码如下：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1); // 递归
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear(); // 可以不写
        path.clear();   // 可以不写
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

时间复杂度: O(n * 2^n)
空间复杂度: O(n)

3.组合问题（优化）

#剪枝优化

我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。

在遍历的过程中有如下代码：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
    path.push_back(i);
    backtracking(n, k, i + 1);
    path.pop_back();
}

这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

这么说有点抽象，如图所示：

77.组合4

图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数已经不足我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {

接下来看一下优化过程如下：

已经选择的元素个数：path.size();
还需要的元素个数为: k - path.size();
在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3，目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。

所以优化之后的for循环是：

for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置

优化后整体代码如下：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:

    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

#剪枝总结

本篇我们准对求组合问题的回溯法代码做了剪枝优化，这个优化如果不画图的话，其实不好理解，也不好讲清楚。

所以我依然是把整个回溯过程抽象为一棵树形结构，然后可以直观的看出，剪枝究竟是剪的哪里。

4.组合总和

力扣题目链接(opens new window)

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

说明：

所有数字都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

示例 1: 输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]

示例 2: 输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

本题就是在[1,2,3,4,5,6,7,8,9]这个集合中找到和为n的k个数的组合。

相对于77. 组合 (opens new window)，无非就是多了一个限制，本题是要找到和为n的k个数的组合，而整个集合已经是固定的了[1,...,9]。

想到这一点了，做过77. 组合 (opens new window)之后，本题是简单一些了。

本题k相当于树的深度，9（因为整个集合就是9个数）就是树的宽度。

例如 k = 2，n = 4的话，就是在集合[1,2,3,4,5,6,7,8,9]中求 k（个数） = 2, n（和） = 4的组合。

选取过程如图：

216.组合总和III

图中，可以看出，只有最后取到集合（1，3）和为4 符合条件。

5.电话号码的字母组合

理解本题后，要解决如下三个问题：

数字和字母如何映射
两个字母就两个for循环，三个字符我就三个for循环，以此类推，然后发现代码根本写不出来
输入1 * #按键等等异常情况

#数字和字母如何映射

可以使用map或者定义一个二维数组，例如：string letterMap[10]，来做映射，我这里定义一个二维数组，代码如下：

const string letterMap[10] = {
    "", // 0
    "", // 1
    "abc", // 2
    "def", // 3
    "ghi", // 4
    "jkl", // 5
    "mno", // 6
    "pqrs", // 7
    "tuv", // 8
    "wxyz", // 9
};

回溯法来解决n个for循环的问题

对于回溯法还不了解的同学看这篇：关于回溯算法，你该了解这些！(opens new window)

例如：输入："23"，抽象为树形结构，如图所示：

17. 电话号码的字母组合

图中可以看出遍历的深度，就是输入"23"的长度，而叶子节点就是我们要收集的结果，输出["ad", "ae", "af", "bd", "be", "bf", "cd", "ce", "cf"]。

6.本周小结！（回溯算法系列一）

周一

本周我们正式开始了回溯算法系列，那么首先当然是概述。

在关于回溯算法，你该了解这些！ (opens new window)中介绍了什么是回溯，回溯法的效率，回溯法解决的问题以及回溯法模板。

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

回溯法就是暴力搜索，并不是什么高效的算法，最多在剪枝一下。

回溯算法能解决如下问题：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
棋盘问题：N皇后，解数独等等

是不是感觉回溯算法有点厉害了。

回溯法确实不好理解，所以需要把回溯法抽象为一个图形来理解就容易多了，每一道回溯法的题目都可以抽象为树形结构。

针对很多同学都写不好回溯，我在关于回溯算法，你该了解这些！ (opens new window)用回溯三部曲，分析了回溯算法，并给出了回溯法的模板。

这个模板会伴随整个回溯法系列！

#周二

在回溯算法：求组合问题！ (opens new window)中，我们开始用回溯法解决第一道题目，组合问题。

我在文中开始的时候给大家列举k层for循环例子，进而得出都是同样是暴力解法，为什么要用回溯法。

此时大家应该深有体会回溯法的魅力，用递归控制for循环嵌套的数量！

本题我把回溯问题抽象为树形结构，可以直观的看出其搜索的过程：for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集。

#周三

针对回溯算法：求组合问题！ (opens new window)还可以做剪枝的操作。

在回溯算法：组合问题再剪剪枝 (opens new window)中把回溯法代码做了剪枝优化，在文中我依然把问题抽象为一个树形结构，大家可以一目了然剪的究竟是哪里。

剪枝精髓是：for循环在寻找起点的时候要有一个范围，如果这个起点到集合终止之间的元素已经不够题目要求的k个元素了，就没有必要搜索了。

#周四

在回溯算法：求组合总和！ (opens new window)中，相当于回溯算法：求组合问题！ (opens new window)加了一个元素总和的限制。

整体思路还是一样的，本题的剪枝会好想一些，即：已选元素总和如果已经大于n（题中要求的和）了，那么往后遍历就没有意义了，直接剪掉。

在本题中，依然还可以有一个剪枝，就是回溯算法：组合问题再剪剪枝 (opens new window)中提到的，对for循环选择的起始范围的剪枝。

所以，剪枝的代码，可以把for循环，加上 i <= 9 - (k - path.size()) + 1 的限制！

组合总和问题还有一些花样，下周还会介绍到。

#周五

在回溯算法：电话号码的字母组合 (opens new window)中，开始用多个集合来求组合，还是熟悉的模板题目，但是有一些细节。

例如这里for循环，可不像是在回溯算法：求组合问题！ (opens new window)和回溯算法：求组合总和！ (opens new window)中从startIndex开始遍历的。

因为本题每一个数字代表的是不同集合，也就是求不同集合之间的组合，而回溯算法：求组合问题！ (opens new window)和回溯算法：求组合总和！ (opens new window)都是是求同一个集合中的组合！

如果大家在现场面试的时候，一定要注意各种输入异常的情况，例如本题输入1 * #按键。

其实本题不算难，但也处处是细节，还是要反复琢磨。

#周六

因为之前链表系列没有写总结，虽然链表系列已经是两个月前的事情，但还是有必要补一下。

所以给出链表：总结篇！ (opens new window)，这里对之前链表理论基础和经典题目进行了总结。

同时对链表：环找到了，那入口呢？ (opens new window)中求环入口的问题又进行了补充证明，可以说把环形链表的方方面面都讲的很通透了，大家如果没有做过环形链表的题目一定要去做一做。

#总结

相信通过这一周对回溯法的学习，大家已经掌握其题本套路了，也不会对回溯法那么畏惧了。

回溯法抽象为树形结构后，其遍历过程就是：for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集。

这个是我做了很多回溯的题目，不断摸索其规律才总结出来的。

对于回溯法的整体框架，网上搜的文章这块一般都说不清楚，按照天上掉下来的代码对着讲解，不知道究竟是怎么来的，也不知道为什么要这么写。

7.组合总和

本题搜索的过程抽象成树形结构如下：

39.组合总和

注意图中叶子节点的返回条件，因为本题没有组合数量要求，仅仅是总和的限制，所以递归没有层数的限制，只要选取的元素总和超过target，就返回！

8.组合总和②

本题的难点在于区别2中：集合（数组candidates）有重复元素，但还不能有重复的组合。

一些同学可能想了：我把所有组合求出来，再用set或者map去重，这么做很容易超时！

所以要在搜索的过程中就去掉重复组合。

很多同学在去重的问题上想不明白，其实很多题解也没有讲清楚，反正代码是能过的，感觉是那么回事，稀里糊涂的先把题目过了。

这个去重为什么很难理解呢，所谓去重，其实就是使用过的元素不能重复选取。 这么一说好像很简单！

都知道组合问题可以抽象为树形结构，那么“使用过”在这个树形结构上是有两个维度的，一个维度是同一树枝上使用过，一个维度是同一树层上使用过。没有理解这两个层面上的“使用过” 是造成大家没有彻底理解去重的根本原因。

那么问题来了，我们是要同一树层上使用过，还是同一树枝上使用过呢？

回看一下题目，元素在同一个组合内是可以重复的，怎么重复都没事，但两个组合不能相同。

所以我们要去重的是同一树层上的“使用过”，同一树枝上的都是一个组合里的元素，不用去重。

为了理解去重我们来举一个例子，candidates = [1, 1, 2], target = 3，（方便起见candidates已经排序了）

强调一下，树层去重的话，需要对数组排序！

选择过程树形结构如图所示：

40.组合总和II

可以看到图中，每个节点相对于 39.组合总和 (opens new window)我多加了used数组，这个used数组下面会重点介绍。

9.分割回文串

切割问题，也可以抽象为一棵树形结构，如图：

131.分割回文串

递归用来纵向遍历，for循环用来横向遍历，切割线（就是图中的红线）切割到字符串的结尾位置，说明找到了一个切割方法。

此时可以发现，切割问题的回溯搜索的过程和组合问题的回溯搜索的过程是差不多的。

10.复原IP地址

切割问题可以抽象为树型结构，如图：

93.复原IP地址

11.子集问题

求子集问题和77.组合 (opens new window)和131.分割回文串 (opens new window)又不一样了。

如果把子集问题、组合问题、分割问题都抽象为一棵树的话，那么组合问题和分割问题都是收集树的叶子节点，而子集问题是找树的所有节点！

其实子集也是一种组合问题，因为它的集合是无序的，子集{1,2} 和子集{2,1}是一样的。

那么既然是无序，取过的元素不会重复取，写回溯算法的时候，for就要从startIndex开始，而不是从0开始！

有同学问了，什么时候for可以从0开始呢？

求排列问题的时候，就要从0开始，因为集合是有序的，{1, 2} 和{2, 1}是两个集合，排列问题我们后续的文章就会讲到的。

以示例中nums = [1,2,3]为例把求子集抽象为树型结构，如下：

78.子集

从图中红线部分，可以看出遍历这个树的时候，把所有节点都记录下来，就是要求的子集集合。

12.子集问题②

剧透一下，后期要讲解的排列问题里去重也是这个套路，所以理解“树层去重”和“树枝去重”非常重要。

用示例中的[1, 2, 2] 来举例，如图所示：（注意去重需要先对集合排序）

90.子集II

从图中可以看出，同一树层上重复取2 就要过滤掉，同一树枝上就可以重复取2，因为同一树枝上元素的集合才是唯一子集！