二分模板

二分模板

//区间被划分成[l,mid],[mid+1,r]时使用;
int besearch_1(int l,int r)
{
    while(l<r)
    {
        int mid = l+r >> 1;
        if(check(mid)) r = mid;//check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
//区间被划分成[l,mid-1],[mid,r]时使用;
int besearch_2(int l,int r)
{
    while(l<r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if(check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

每次二分边界都调半天,还是y总的模板香~

<think>好的,用户想要一个通用的二分法算法模板和实现代码。首先,我需要回顾一下二分查找的基本原理和常见问题。根据用户提供的引用,二分查找的关键在于二段性,而不仅仅是数组有序。这点很重要,可能用户之前认为必须有序,但其实只要满足某种单调性或分界条件就可以用二分。 接下来,用户提到了左右侧查找的需求,比如找到最左或最右边的目标值。引用[4]中给出了右闭左开的例子,但用户可能想要更通用的模板。我需要结合这些引用中的信息,总结出两种常见情况:寻找左边界和右边界,以及基本的查找。 然后,考虑模板的结构。通常二分查找有左闭右闭和左闭右开两种写法,这里需要统一处理。根据引用[4]中的代码,左右边界的处理需要调整mid的计算和左右指针的移动。比如,当找到目标值时,左边界需要继续向左搜索,而右边界则向右搜索。 另外,用户可能需要代码示例,所以得选择一种编程语言,比如Python,因为它比较通用。同时,要确保代码正确处理边界条件,避免死循环,比如在左闭右开区间时,right的初始值应该是数组长度,而循环条件为left < right。 然后,模板需要包括三个部分:基本二分、左边界和右边界查找。每个部分的循环条件、mid计算、指针更新都需要明确。例如,基本二分在找到目标时直接返回,而左右边界查找则继续缩小区间,直到锁定边界。 还要考虑用户可能的疑问,比如如何处理找不到目标的情况,是否需要返回值检查。在代码中添加注释说明返回值的含义,比如左边界返回第一个等于target的位置,找不到则返回-1。 最后,根据用户提供的引用,特别是引用[1]和[4],需要强调二段性的概念,说明模板的适用场景不仅限于有序数组,而是满足特定条件的情况。这可能帮助用户更好地应用模板到不同的问题中。 总结步骤:先介绍通用模板的结构,分三种情况;然后给出Python代码示例,确保语法正确;接着解释每个模板的使用场景和细节;最后根据引用材料说明二段性的重要性,并生成相关问题。</think>### 通用二分法算法模板详解 #### 一、通用二分法核心思想 二分法的本质是通过**二段性**确定搜索范围,而非必须有序数组[^1]。通过比较中间值与目标值的关系,每次将搜索空间缩小一半,时间复杂度为$O(\log n)$[^2]。 #### 二、通用模板分类(Python实现) 以下为三种典型场景的代码模板,涵盖**基本查找、左边界查找、右边界查找**: ```python # 1. 基本二分查找(精确匹配) def binary_search(nums, target): left, right = 0, len(nums) - 1 # 闭区间[left, right] while left <= right: mid = left + (right - left) // 2 # 避免整数溢出 if nums[mid] == target: return mid # 找到目标直接返回 elif nums[mid] < target: left = mid + 1 else: right = mid - 1 return -1 # 未找到 # 2. 左边界查找(第一个>=target的位置) def left_bound(nums, target): left, right = 0, len(nums) # 左闭右开区间[left, right) while left < right: mid = left + (right - left) // 2 if nums[mid] < target: left = mid + 1 else: right = mid # 保持左闭右开特性 return left if left < len(nums) and nums[left] == target else -1 # 3. 右边界查找(最后一个<=target的位置) def right_bound(nums, target): left, right = 0, len(nums) while left < right: mid = left + (right - left) // 2 if nums[mid] > target: right = mid else: left = mid + 1 # 向右压缩搜索空间 return left - 1 if left > 0 and nums[left-1] == target else -1 ``` #### 三、模板选择与使用场景 1. **基本查找**:适用于**存在唯一目标值**的场景,如$[1,3,5,7]$中找5 2. **左边界查找**:适用于处理重复元素或**寻找最小值**,如$[2,2,3,4]$中找第一个2 3. **右边界查找**:适用于寻找最大值或**确定范围上限**,如$[1,2,2,3]$中找最后一个2 #### 四、关键细节说明 1. **循环终止条件**:闭区间用`left <= right`,左闭右开区间用`left < right` 2. **中间值计算**:使用`mid = left + (right - left) // 2`防止整型溢出 3. **边界收缩**:保持区间不变量(如左闭右开区间始终维持`[left, right)`特性) 4. **返回值验证**:最终需检查下标有效性及元素匹配性[^4] #### 五、二段性扩展应用 当数组满足**某个分界条件**时即可使用二分,例如: - 寻找旋转排序数组中的最小值(如$[4,5,6,1,2]$) - 山脉数组找峰值(如$[1,3,5,4,2]$) - 寻找缺失数字等非显式有序问题[^1] $$ \text{二段性条件}: \exists x_0, \forall x < x_0 \text{满足}P(x), \forall x \ge x_0 \text{不满足}P(x) $$
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