蓝桥杯2017届C++B组省赛真题 K倍区间

最新推荐文章于 2025-03-23 20:05:11 发布

胃口很大的一条小蛇仔

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分类专栏：蓝桥杯文章标签：算法

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本文讨论了一种优化的方法来解决给定数列中K倍区间的计数问题。首先利用同余定理，通过统计前缀和的模K余数，减少了计算复杂度，从而避免了超时问题。关键在于理解任意两个相同余数的前缀和之差必为K的倍数。最终给出的代码使用哈希表存储每个余数出现的次数，计算K倍区间总数。

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题目：

给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。

你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入
第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出
输出一个整数，代表K倍区间的数目。

例如，
输入：

5 2
1
2
3
4
5

程序应该输出：

6

分析：

步骤：

1.统计前缀和sum[i] 表示A1+A2+…+Ai。

2.对于任意一段区间[i，j]的和：sum[j] - sum[i-1]，判断这个区间和是不是K的倍数：(sum[j]-sum[i-1])%k == 0。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int MAX_N = 1e5+1;
int N,K;
int a[MAX_N];
int sum[MAX_N];
int main(){
	cin >> N >> K;
	for(int i = 1;i <= N;i++){
		cin >> a[i];
		sum[i] = sum[i-1]+a[i];
	}
	long long ans = 0;
	for(int i = 1;i <= N;i++){
		for(int j = i;j <= N;j++){
			if((sum[j] - sum[i-1]) % K == 0){
				ans++;
			}
		}
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

但是这样做运行超时了，只拿了28分

如何优化呢？

我们先了解一下同余定理：

如果a，b除以c的余数相同，就称a，b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除．（a，b，c均为自然数）

做法：

我们将所有的前缀和sum[i]全部模上K，统计所有相同余数的个数

根据上面的介绍，我们知道假设有m个前缀和满足除以K的余数相同，那么任意两个前缀和的差都能被K整除，所以K倍区间的个数就是 $C_{m}^{2}\textrm{}$ ，即m*(m-1)/2个

#include<iostream>
#include<map>
using namespace std;
const int MAX_N = 1e5+1;
int N,K;
int a[MAX_N];
int sum[MAX_N];
map<int,int> cnt;
int main(){
	cin >> N >> K;
	cnt[0] = 1;//千万别忘记sum[0] = 0这种情况
	for(int i = 1;i <= N;i++){
		cin >> a[i];
		sum[i] = (sum[i-1]+a[i]) % K;
		cnt[sum[i]]++;
	}
	long long ans = 0;
	for(int i = 0;i < K;i++){//余数的范围在[0~K-1]之间 
		ans += cnt[i]*(cnt[i]-1) / 2;
	} 
	cout << ans;
	return 0;
}