李白打酒加强版——动态规划做法

最新推荐文章于 2024-03-18 22:51:23 发布

原创最新推荐文章于 2024-03-18 22:51:23 发布 · 1.3k 阅读

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本文讲解了如何通过三维动态规划求解一个涉及走过n个酒馆且保持斗酒数量的决策问题。通过定义dp数组并详细解释状态转移方程，展示了如何利用递推计算出最终的方案数。关键在于理解酒馆规则和状态转移条件。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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思路

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当我们看到数据范围的时候，大概的思路就已经有了，这一定是个 $D P$ 的题。果不其然，开三维数据来 $D P$ 。

我们可以定义一个三维数组 $dp[2×N][N][N]dp[2\times N][N][N]$ ，这里的 $N$ 我们定义为 $110$ 。
$d p [i] [j] [k]$ 表示我们走了 $i$ 步，经过 $n$ 家酒馆，还剩 $k$ 斗酒的方案数，那么我们如何实现状态转移呢？
我们可以知道对于 $d p [i] [j] [k]$ ，可以有两种方式到达它，一种是第 $i - 1$ 步是在酒馆，另一种即为第 $i - 1$ 步在花。但是我们要注意了，如果上一步是酒馆，那么我们当前这一步的酒的斗数一定是个偶数。
因此我们可以得到状态转移方程：
$d p [i] [j] [k] = d p [i] [j] [k] + d p [i - 1] [j] [k - 1]$
如果 $k$ % $2 = 0$ 并且我们之前经过过酒馆，那么我们还需加上
$dp[i][j][k]+dp[i-1][j-1][\frac{k}{2}]$
记得最终答案要对 $1000000007$ 取模。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define inf 1e9
using namespace std;
const int N = 110;
const int mod = 1e9+7; 
int n, m;
int dp[2*N][N][N];//走了i步，经过j个酒馆，还剩k斗酒的方案数
void solve(){
	cin>>n>>m;
	dp[0][0][2] = 1;
	for(int i = 1;i <= n+m;i++){
		for(int j = 0;j <= n;j++){
			for(int k = 0;k < 100;k++){
				dp[i][j][k] = (dp[i-1][j][k+1]+dp[i][j][k])%mod;
				if(k%2==0&&j!=0)dp[i][j][k] = (dp[i][j][k]+dp[i-1][j-1][k/2])%mod;
			}
		}
	}
	cout<<dp[n+m-1][n][1];
	//因为最后一步一定是花，那么最后的方案数其实是等于走了n+m-1步，经过n家酒馆以及还剩1斗酒时的方案数
}
int main(){
	// std::cin>>t;
	// while(t--)
	solve();
	return 0;
}