集合之无限集合

无限集合

定义

直观定义

不是有限集合的集合，即由无限个元素组成的集合，称为无限集合，简称无限集

用于证明的定义

给定 N k = { 0 , 1 , 2 , ⋯   , k − 1 } ,   k ∈ Z \mathbf N_k=\{0,1,2,\cdots,k-1\},\ k\in\mathbf Z Nk​={0,1,2,⋯,k−1}, k∈Z，对于集合 $A$，若对任意 $k\in \mathbf{Z}$ 都不存在双射函数 $f:{\mathbf{N}}_k\to A$，则称 $A$ 是无限集

类别

可数集

与自然数集 $\mathbf{N}$ 等势的集合称为可数无限集，简称可数集
如：整数集 $\mathbf{Z}$ 是可数集

因为可构造双射函数
$$f:\mathbf{N}\to \mathbf{N},f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2},& x为偶数\\ -\frac{x+1}{2},& x为奇数\end{array}$$

可数集和有限集统称为至多可数集

关于可数集有如下定理：

1. 可数集的任意无限子集是可数集
2. 可数个可数集的并是可数集

不可数集

与自然数集 $\mathbf{N}$ 不等势的集合称为不可数无限集，简称不可数集
如：实数集的子集 $(0,1)$ 为不可数集

用反证法证明
假设 $(0,1)\sim \mathbf{N}$
则存在双射函数 $f:\mathbf{N}\to (0,1)$
$f(0),f(1),\cdots ,f(n)\in (0,1),\cdots$ 可表示为：
$$\begin{array}{rl}& f(0)=0.x_{00}{x}_{01}{x}_{02}{x}_{03}\cdots \\ & f(1)=0.x_{10}{x}_{11}{x}_{12}{x}_{13}\cdots \\ & f(2)=0.x_{20}{x}_{21}{x}_{22}{x}_{23}\cdots \\ & ⋮\end{array}$$
构造 $y=0.y_0{y}_1{y}_2{y}_3\cdots$，其中 $y_i\ne x_{ii}$
显然 $y\in (0,1)$，但 $\forall n\in \mathbf{N},y\ne f(n)$
因此函数 $f$ 不是满射函数，不可能是双射函数，与假设相矛盾

大小（基数或势）

若无限集是可数集，则其大小为阿列夫零，记作 ${\aleph }_0$
如：正整数集 $\mathbf{Z}$ 的大小 $|\mathbf{Z}|={\aleph }_0$

若无限集是不可数集，则其大小为阿列夫，记作 $\aleph$
如：实数集的子集 $(0,1)$ 的大小 $|(0,1)|=\aleph$

无限集存在与其等势的真子集

$A$ 是任意无限集，从 $A$ 拿出一系列元素 { a 0 , a 1 , ⋯   , a n , ⋯   } \{a_0,a_1,\cdots, a_n,\cdots\} {a0​,a1​,⋯,an​,⋯} 后剩余元素的集合 B = A − { a 0 , a 1 , ⋯   , a n , ⋯   } B=A-\{a_0,a_1,\cdots, a_n,\cdots\} B=A−{a0​,a1​,⋯,an​,⋯} 也是无限集，则 A = B ∪ { a 0 , a 1 , ⋯   , a n , ⋯   } A=B\cup\{a_0,a_1,\cdots, a_n,\cdots\} A=B∪{a0​,a1​,⋯,an​,⋯}
取 C = B ∪ { a 1 , ⋯   , a n , ⋯   } C=B\cup\{a_1,\cdots, a_n,\cdots\} C=B∪{a1​,⋯,an​,⋯}（没有 $a_0$），显然 $C$ 是 $A$ 的真子集
可构造双射函数
f : A → C ,   { f ( x ) = x , x ∈ B f ( a i ) = f ( a i + 1 ) , x ∈ { a 0 , a 1 , ⋯   , a n , ⋯   } f:A\rightarrow C,\ \begin{cases} f(x)=x,&x\in B\\ f(a_i)=f(a_{i+1}),&x\in\{a_0,a_1,\cdots, a_n,\cdots\} \end{cases} f:A→C, {f(x)=x,f(ai​)=f(ai+1​),​x∈Bx∈{a0​,a1​,⋯,an​,⋯}​
因此 $C\sim A$

参考

[1] 离散数学西安电子科技大学出版社第二版
[2] 维基百科无限集合