集合的划分《信息学奥赛一本通-动态规划》

【题目描述】

设S是一个具有n个元素的集合，S＝〈a1，a2，……，an〉，现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1，S2，……，Sk，且满足：

1．Si≠∅

2．Si∩Sj＝∅            (1≤i，j≤k，i≠j)

3．S1∪S2∪S3∪…∪Sk＝S

则称S1，S2，……，Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1，a2，……，an 放入k个(0＜k≤n＜30)无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1，a2，……，an放入k个无标号盒子中去的划分数S(n,k)。

【输入】

给出nn和kk。

【输出】

n个元素a1，a2，……，an放入k个无标号盒子中去的划分数S(n,k)。

【输入样例】

10 6

【输出样例】

22827

书上题解用的是递归解法，但是我转念一想考虑是不是可以用动归写法a这个题，若是做过《一本通》上的分苹果，很容易注意到两道题目是比较相似的，但是此题比分苹果那题稍微容易一点，因为状态转移方程比较好想

和分苹果不同之处在于：分集合这道题是不能有空集的，也就是说确保有每个集合都至少要有一个元素，所以依据这点可以考虑到两个临界情况，一是当集合数目大于元素数目的时候种类数是一定为0的，二是当集合数目恰好等于元素个数的时候种类数恰好为1，还有一种临界条件自然很容易想到：当集合数目为1时，自然若元素个数不为0，则不论元素个数是多少，方案书目恒为1。

此题和分苹果分析的思路接近，若从简单状况开始分析则比较容易得到转移关系，但是特别要注意一点，分集合不是分苹果，每个元素是不一样的！

 我们其实有两种思考方式：一种是以集合为基准思考，集合个数不变，元素多出一个怎么分配

还有一种思考方式就是以元素为基准，元素个数不变，集合多出一个怎么分配

若是第一种思考方式，那么前提自然是元素个数要大于等于集合个数，没多出一个元素自然放在哪个集合都可，所以每多出一个元素，累加的方案数其实就是集合的个数，但是这还不够，还不能概括所有的情况。比如说若是把4个元素分到3个集合中，那么照此分配方式自然就只有3*f[3][3]，而f[3][3]自然只有一种，所以一共就只有3种方案？显然不对，f[3][4]不仅只能由f[3][3]转移，也可以由f[2][3]转移，区别就是：f[3][3]转移至f[4][3]说明在新加入元素之前三个集合就已经各有一共元素了，但是这不太合逻辑，难道我们在加入最后一个集合之前所有集合必须非空吗？显然没有这种规定，所以我们实际上是忽略了之前元素没有把集合全部占满的情况，但是有人会问了，我们考虑的不是新加入一个元素的情况吗？为什么集合个数还会在转移方程中变化？其实并不是集合个数变化了，因为按照题目规定，空集是不能被算作一个集合的，所以看起来集合个数变多了，实际上只是新加入的元素填了一个空集而已。

但是要注意先写出所有临界条件才不会出错

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;  
const int N = 110;   
ll f[N][N];         
int n,m;
int main()
{
	cin>>n>>m;
	
	for(int i=1;i<=100;i++) f[1][i] = 1;
	for(int i=1;i<=100;i++) f[i][i] = 1;
	
	for(int i=2;i<=m;i++)
		for(int j=i;j<=n;j++)
			f[i][j] = i*f[i][j-1]+f[i-1][j-1];
			
	cout<<f[m][n];
	return 0;		
}

第二种就是书上的思路啦，大家学会第一种考虑方式再想第二种肯定不难~